Свойства матрицы и ее определителя

Свойства матриц - вопрос, который у многих может вызвать сложности. Поэтому стоит рассмотреть его подробнее.

Видео: Как найти определитель матрицы 2х2, 3х3 и 4х4

Матрица - это таблица прямоугольного вида, включающая в себя числа и элементы. Также это некая совокупность чисел и элементов какой-либо другой структуры, которые записаны как прямоугольная таблица, состоящая из определенного количества строк и столбцов. Такая таблица обязательно должна быть заключена в скобки. Это могут быть округлые скобки, скобки квадратного типа или двойные скобки прямого типа. Все числа в матрице носят название – элемент матрицы, а также они имеют свои координаты в поле таблицы. Матрица в обязательном порядке обозначается прописной буквой латинского алфавита.

Свойства матриц или математических таблиц включают несколько аспектов. Сложение и вычитание матриц проходит строго поэлементно. Умножение и деление их выходит за рамки обычной арифметики. Чтобы умножить одну матрицу на другую, нужно вспомнить сведения о скалярном произведении одного вектора на другой.

С = (а, b) = а 1 b 1 + а 2 b 2 + ... + а N b N

Свойства умножения матриц имеют некоторые нюансы. Произведение одной матрицы на другую является некоммутативным, то есть (a, b) не равно (a, b).

Видео: Свойства определителей. Тема

В основные свойства матриц входит такое понятие, как мера приличия. Мерой приличия для таких таблиц считается определитель. Определитель - это некая функция нескольких элементов квадратной матрицы, входящей в порядок n. Иными словами определитель называется детерминант. У таблицы со вторым порядком определитель приравнивается к разности произведений чисел или элементов двух диагоналей этой матрицы А11А22-А12A21. Определитель для матрицы с более высоким порядком выражается определителями ее блоков.

Чтобы понять, насколько вырождена матрица, было введено такое понятие, как ранг (rank) матрицы. Ранг - это количество независимых линейно столбцов и строк данной таблицы. Матрица может быть инвертируема лишь тогда, когда ранг ее является полным, то есть rank (A) равен N.

Свойства определителей матрицы включают в себя:

1. Для квадратной матрицы определитель не изменится при ее транспонировании. То есть детерминант данной матрицы будет приравниваться к детерминанту этой таблицы в транспонированном виде.

2. Если какой-либо столбец или какая-либо строка будет включать в себя одни нули, тогда определитель такой матрицы будет приравниваться к нулю.

3. Если в матрице любые два столбца или любые две строки поменять местами, то знак определителя такой таблицы изменит свое значение на противоположное.

4. Если любой столбец или любую строку матрицы умножить на какое-либо число, то и определитель ее умножается на это же число.

5. Если в матрице любой из элементов записан, как сумма двух или более компонентов, то определитель такой таблицы записывается, как сумма нескольких определителей. Каждый определитель такой суммы – это определитель матрицы, у которой вместо элемента, представленного суммой, записано одно из слагаемых этой суммы соответственно очередности определителя.

6. Если в какой-либо матрице имеются две строки с одинаковыми элементами или два одинаковых столбца, то определитель этой таблицы приравнивается к нулю.

7. Также определитель приравнивается к нулю у такой матрицы, у которой два столбца или две строки пропорциональны друг другу.

8. Если элементы какой-либо строки или столбца умножить на какое-либо число, а затем прибавить к ним элементы в другой строке или столбце этой же матрицы, соответственно, то определитель данной таблицы не изменится.

В общей сложности, можно сказать, что свойства матриц представляют собой набор сложных, но в то же время необходимых знаний о сущности таких математических единиц. Все свойства матрицы напрямую зависят от ее компонентов и элементов.