Как вычислить площадь сегмента и площадь сегмента сферы

Математическая величина площади известна со времен древней Греции. Еще в те далекие времена греки выяснили, что площадью является сплошная часть поверхности, которая ограничена со всех сторон замкнутым контуром. Это числовая величина, которая измеряется в квадратных единицах. Площадь является численной характеристикой как плоских геометрических фигур (планиметрических), так и поверхностей тел в пространстве (объемных).

Видео: 03. Геометрия на ЕГЭ по математике. Вычисление площади части круга

В настоящее время она встречается не только в рамках школьной программы на уроках геометрии и математики, но и в астрономии, быту, в строительстве, в конструкторских разработках, в производстве и во многих других сферах деятельности человека. Очень часто к вычислению площадей сегментов мы прибегаем на приусадебном участке при оформлении ландшафтной зоны или при ремонтных работах ультрасовременного дизайна помещения. Поэтому знания методов вычисления площади различных геометрических фигур пригодятся всегда и везде.

Для вычисления площади кругового сегмента и сегмента сферы необходимо разобраться с геометрическими терминами, которые понадобятся при вычислительном процессе.

Прежде всего, сегментом круга называется фрагмент плоской фигуры круга, который расположен между дугой окружности и отсекающей ее хордой. Не стоит это понятие путать с фигурой сектора. Это совершенно разные вещи.

Хордой называется отрезок, который соединяет две точки, лежащие на окружности.

Центральный угол образуется между двумя отрезками – радиусами. Он измеряется в градусах дугой, на которую упирается.

Сегмент сферы образуется при отсекании какой–либо плоскостью части шара (сферы). При этом основанием сферического сегмента получается круг, а высотой является перпендикуляр, исходящий от центра круга до пересечения с поверхностью сферы. Эта точка пересечения называется вершиной сегмента шара.

Для того, чтобы определить площадь сегмента сферы, нужно знать длину окружности отсеченного круга и высоту шарового сегмента. Произведение этих двух составляющих и будет являться площадью сегмента сферы: S=2&pi-Rh, где h – высота сегмента, 2&pi-R - длина окружности, а R – радиус большого круга.

Для того, чтобы вычислить площадь сегмента круга, можно прибегнуть к следующим формулам:

Видео: 24. Стереометрия на ЕГЭ по математике. Вычисление площади части сферы.

1. Чтобы найти площадь сегмента самым простым способом, необходимо вычислить разность между площадью сектора, в который вписан сегмент, и площадью равнобедренного треугольника, у которого основание является хордой сегмента: S1=S2-S3, где S1 - площадь сегмента, S2 - площадь сектора и S3 - площадь треугольника.

Можно воспользоваться приближенной формулой вычисления площади кругового сегмента: S=2/3*(a*h), где a – основание треугольника или длина хорды, h – высота сегмента, которая является результатом разности между радиусом круга и высотой равнобедренного треугольника.

Видео: Задача B3: площадь сектора

2. Площадь сегмента, отличающегося от полукруга, подсчитывается следующим образом: S = (&pi- R2:360)*&alpha- ± S3, где &pi- R2 – площадь круга, &alpha- – градусная мера центрального угла, которая содержит дугу сегмента круга, S3 – площадь треугольника, который образовался между двумя радиусами круга и хордой, владеющего углом в центральной точке круга и двумя вершинами в местах соприкосновения радиусов с окружностью.

Если угол &alpha- < 180 градусов, используется знак минус, если &alpha- > 180 градусов, применяется знак плюс.

3. Вычислить площадь сегмента можно и другими методами при помощи тригонометрии. Как правило, за основу берется треугольник. Если центральный угол измеряется в градусах, тогда приемлема следующая формула: S= R2 * (&pi-*(&alpha-/180) - sin &alpha-)/2, где R2 – квадрат радиуса круга, &alpha- – градусная мера центрального угла.

4. Чтобы рассчитать площадь сегмента с помощью тригонометрических функций, можно воспользоваться и другой формулой при условии, что центральный угол измеряется в радианах: S= R2 * (&alpha- - sin &alpha-)/2, где R2 – квадрат радиуса круга, &alpha- – градусная мера центрального угла.