Как найти площадь четырехугольника?

Видео: Как найти площадь произвольного четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге

Если на плоскости последовательно начертить несколько отрезков так, чтобы каждый следующий начинался в том месте, где закончился предыдущий, то получится ломаная линия. Эти отрезки называют звеньями, а места их пересечения — вершинами. Когда конец последнего отрезка пересечется с начальной точкой первого, то получится замкнутая ломаная линия, делящая плоскость на две части. Одна из них является конечной, а вторая бесконечной.

Видео: ЕГЭ математика В6. Площадь четырёхугольника

Простая замкнутая линия вместе с заключенной в ней частью плоскости (той, которая конечна) называют многоугольником. Отрезки являются сторонами, а образованные ими углы — вершинами. Количество сторон любого многоугольника равно числу его вершин. Фигура, которая имеет три стороны, называется треугольником, а четыре — четырехугольником. Многоугольник численно характеризуется такой величиной, как площадь, которая показывает размер фигуры. Как найти площадь четырехугольника? Этому учит раздел математики — геометрия.

Чтобы найти площадь четырехугольника, нужно знать к какому типу он относится - выпуклому или невыпуклому? Выпуклый многоугольник весь лежит относительно прямой (а она обязательно содержит какую-либо из его сторон) по одну сторону. Кроме того, есть и такие виды четырехугольников, как параллелограмм с попарно равными и параллельными противоположными сторонами (разновидности его: прямоугольник с прямыми углами, ромб с равными сторонами, квадрат со всеми прямыми углами и четырьмя равными сторонами), трапеция с двумя параллельными противоположными сторонами и дельтоид с двумя парами смежных сторон, которые равны.

Видео: Как найти отношение площади треугольника к площади четырёхугольника

Площади любого многоугольника находят, применяя общий метод, который заключается в том, чтобы разбить его на треугольники, для каждого вычислить площадь произвольного треугольника и сложить полученные результаты. Любой выпуклый четырехугольник делится на два треугольника, невыпуклый — на два или три треугольника, площадь его в этом случае может складываться из суммы и разности результатов. Площадь любого треугольника вычисляют как половину произведения основания (a) на высоту ( ), проведенную к основанию. Формула, которая применяется в этом случае для вычисления, записывается как: S = ½- &bull- a &bull- .

Как найти площадь четырехугольника, например, параллелограмма? Нужно знать длину основания (a), длину боковой стороны ( ) и найти синус угла &alpha-, образованного основанием и боковой стороной (sin&alpha-), формула для расчета будет выглядеть: S = a &bull- &bull- sin&alpha-. Так как синус угла &alpha- есть произведение основания параллелограмма на его высоту ( = ) — линию перпендикулярная основанию, то его площадь вычисляют, умножив на высоту его основание: S = a &bull- . Для расчета площади ромба и прямоугольника также подходит эта формула. Так как у прямоугольника боковая сторона совпадает с высотой , то его площадь вычисляют по формуле S = a &bull- . Площадь квадрата, потому что a = , будет равняться квадрату его стороны: S = a &bull- a = a . Площадь трапеции вычисляется как половина суммы его сторон, умноженная на высоту (она проводится к основанию трапеции перпендикулярно): S = ½- &bull- (a + ) &bull- .

Как найти площадь четырехугольника, если неизвестны длины его сторон, но известны его диагонали (e) и (f), а также синус угла &alpha-? В этом случай площадь вычисляют, как половину произведения его диагоналей (линии, которые соединяют вершины многоугольника), умноженное на синус угла &alpha-. Формула может быть записана в таком виде: S = ½- &bull- (e &bull- f) &bull- sin&alpha-. В частности площадь ромба в этом случае будет равняться половине произведения диагоналей (линии, соединяющие противоположные углы ромба): S = ½- &bull- (e &bull- f).

Как найти площадь четырехугольника, который не является параллелограммом или трапецией, его обычно принято называть произвольный четырехугольник. Площадь такой фигуры выражают через его полупериметр (&Rho- — сумма двух сторон с общей вершиной), стороны a, , c, d и сумму двух противоположных углов (&alpha- + &beta-): S = &radic-[( &Rho- – a) &bull- (&Rho- – ) &bull- (&Rho- – c) &bull- (&Rho- – d) – a &bull- &bull- c &bull- d &bull- cos ½- (&alpha- + &beta-)].

Видео: Как найти площадь трапеции ТЕОРЕМА ПИКА И ПИФАГОРА

Если четырехугольник вписан в окружность, а &phi- = 180о, то для расчета его площади используют формулу Брахмагупты (индийский астроном и математик, живший в 6—7 веках нашей эры): S = &radic-[( &Rho- – a) &bull- (&Rho- – ) &bull- (&Rho- – c) &bull- (&Rho- – d)]. Если четырехугольник описан окружностью, то (a + c = + d), а его площадь вычисляют: S = &radic-[ a &bull- &bull- c &bull- d] &bull- sin ½- (&alpha- + &beta-). Если четырехугольник одновременно является описанным одной окружностью и вписанным в другую окружность, то для вычисления площади используют следующую формулу: S = &radic-[a &bull- &bull- c &bull- d].