Площадь равностороннего треугольника

Среди геометрических фигур, которые рассматриваются в разделе геометрия, наиболее часто приходится сталкиваться при решении тех или иных задач с треугольником. Он представляет собой геометрическую фигуру, образованную тремя прямыми. Они в одной точке не пересекаются и не являются параллельными. Можно дать иное определение: треугольник представляет собой ломаную замкнутую линию, состоящую из трех звеньев, где ее начало и конец соединяются в одной точке. Если все три стороны имеют равную величину, то это правильный треугольник, или, как говорят, равносторонний.

Как же определить площадь равностороннего треугольника? Для решения подобных задач необходимо знать некоторые свойства этой геометрической фигуры. Во-первых, у данного вида треугольника все углы равны. Во-вторых, высота, которая опускается с вершины на основание, является одновременно и медианой, и высотой. Это говорит о том, что высота делит вершину треугольника на два равных угла, а противоположную сторону - на два равных отрезка. Так как равносторонний треугольник состоит из двух прямоугольных треугольников, то при определении искомой величины необходимо использовать теорему Пифагора.

Расчет площади треугольника можно произвести различными способами, в зависимости от известных величин.

1. Рассмотрим равносторонний треугольник с известными стороной b и высотой h. Площадь треугольника в этом случае будет равна одной второй произведения стороны и высоты. В виде формулы это будет выглядеть так:

S=1/2* h* b

Говоря словами, площадь равностороннего треугольника равна одной второй произведения его стороны и высоты.

2. Если известна только величина стороны, то прежде, чем искать площадь, необходимо вычислить его высоту. Для этого рассмотрим половину треугольника, в котором высота будет одним из катетов, гипотенуза – это сторона треугольника, а второй катет – половина стороны треугольника согласно его свойствам. Все из той же теоремы Пифагора определим высоту треугольника. Как из нее известно, квадрат гипотенузы соответствует сумме квадратов катетов. Если рассматривать половину треугольника, то в данном случае сторона является гипотенузой, половина стороны – одним катетом, а высота – вторым.

Видео: Площадь равностороннего треугольника

(b/2) + h2= b , отсюда

h = b -(b/2) . Приведем к общему знаменателю:

h = 3b /4,

h= &radic-3b /4,

h= b/2&radic-3.

Как видим, высота рассматриваемой фигуры равна произведению половины его стороны и корня из трех.

Подставим в формулу и увидим: S=1/2* b* b/2&radic-3= b /4&radic-3.

То есть, площадь равностороннего треугольника равна произведению четвертой части квадрата стороны и корня из трех.

Видео: Площадь равностороннего треугольника

3. Есть и такие задачи, где необходимо определить площадь равностороннего треугольника при известной высоте. И это оказывается проще простого. Мы уже вывели в предыдущем случае, что h = 3 b /4. Дальше необходимо отсюда вывести сторону и подставить в формулу площади. Выглядеть это будет так:

b =4/3* h , отсюда b=2h/&radic-3. Подставив в формулу, по которой находится площадь, получим:

S=1/2* h*2h/&radic-3, отсюда S= h /&radic-3.

Имеют место задачи, когда необходимо найти площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной или описанной окружности. Для этого расчета также существуют определенные формулы, которые выглядят следующим образом: r = &radic-3* b/6, R=&radic-3* b/3.

Действуем уже по знакомому нам принципу. При известном радиусе, выводим из формулы сторону и вычисляем ее, подставив известную величину радиуса. Полученное значение подставляем в уже известную формулу для расчета площади правильного треугольника, проводим арифметические вычисления и находим искомую величину.

Как видим, для того, чтобы решить аналогичные задачи, необходимо знать не только свойства правильного треугольника, а и теорему Пифагора, и радиус описанной и вписанной окружности. Для владеющих этими знаниями решение подобных задач не будет представлять особого труда.