Площадь трапеции

Слово трапеция используется в геометрии для обозначения четырехугольника, характеризующегося определенными свойствами. Кроме того, оно имеет еще несколько значений. В архитектуре используется для обозначения симметричных дверей, окон и зданий, построенных широкими у основания и сужающимися к верху (в египетском стиле). В спорте — это гимнастический снаряд, в моде — платье, пальто или другой вид одежды определенного кроя и фасона.

Само слово «трапеция» произошло от греческого, в переводе на русский язык означающего «столик» или «стол, еда». В евклидовой геометрии так называют выпуклый четырехугольник, имеющий одна пару противоположных сторон, которые обязательно параллельны друг другу. Следует вспомнить несколько определений для того, чтобы найти площадь трапеции. Параллельные стороны этого многоугольника называются основаниями, а две других — боковыми. Высотой трапеции является расстояние между основаниями. Средней линией принято считать линию, соединяющую середины сторон боковых. Все эти понятия (основания, высота, средняя линия и боковые стороны) являются элементами многоугольника, являющегося частным случаем четырехугольника.

Поэтому правомочно утверждение, что площадь трапеции может быть найдена по формуле, предназначенной для четырехугольника: S = ½- &bull- (a + ) &bull- . Здесь S — это площадь, a и — это нижнее и верхнее снования, — это высота, опущенная из угла, прилегающего к верхнему основанию, перпендикулярно нижнему основанию. То есть S равняется половине произведения суммы оснований на высоту. Например, если основания трапеции — 6 и 2 мм, а ее высота — 15 мм, то ее площадь будет равна: S = ½- &bull- (6 + 2) &bull- 15 = 60 мм .

Используя известные свойства этого четырехугольника, можно вычислить площадь трапеции. В одном из важных утверждений говорится, что средняя линия (обозначим ее буквой µ-, а основания буквами a и ) равняется половине суммы оснований, которым она всегда параллельна. То есть µ- = ½- (a + ). Таким образом, подставляя в известную формулу вычисления S четырехугольника, среднюю линию, можно записать формулу для расчета в другом виде: S = µ- &bull- . Для случая, когда средняя линия — 25 см, а высота — 15 см, площадь трапеции равняется: S = 25 &bull- 15 = 375 см .

Согласно известному свойству многоугольника с двумя параллельными сторонами, являющимися основанием, вписать окружность с радиусом r в нее можно при условии, что сумма оснований будет обязательно равняться сумме ее боковых сторон. Если к тому же трапеция является равнобедренной (то есть, равны между собой ее боковые стороны: c = d), а также известен угол при основании &alpha-, то можно найти, чему равна площадь трапеции по формуле: S = 4r /sin&alpha-, а для частного случая, когда &alpha- = 30°, S = 8r . Например, если угол при одном из оснований равен 30°, и вписана окружность с радиусом 5 дм, то площадь такого многоугольника будет равняться: S = 8 &bull- 5 = 200 дм .

Видео: Математика Урок 9 Площадь трапеции

Можно также найти площадь трапеции, разбив ее на фигуры, вычислив площадь каждой и сложив эти значения. Это лучше рассмотреть для трех возможных вариантов:

1. Боковые стороны и углы при основании равны. В этом случае трапецию принято называть равнобедренной.
2. Если одна боковая сторона образует прямые углы с основаниями, то есть перпендикулярна им, то такая трапеция будет называться прямоугольной.
3. Четырехугольник, у которого параллельны две стороны. В этом случае параллелограмм может быть рассмотрен, как частный случай.

Видео: Репетитор ГИА 2013 геометрия 15 найти площадь трапеции #15

Для равнобедренной трапеции площадь складывается из суммы двух одинаковых площадей прямоугольных треугольников S1 = S2 (высота их равна высоте трапеции , а основания треугольников половине разности оснований трапеции ½- [a - ]) и площади прямоугольника S3 (одна сторона его равна верхнему основанию , а другая — высоте ). Из чего следует, что площадь трапеции S = S1 + S2 + S3 = ¼- (a – ) &bull- + ¼- (a – ) &bull- + ( &bull- ) = ½- (a – ) &bull- + ( &bull- ). Для прямоугольной трапеции площадь складывается из суммы площадей треугольника и четырехугольника: S = S1 + S3 = ½- (a – ) &bull- + ( &bull- ).

Криволинейная трапеция в данной статье не рассматривалась, площадь трапеции в этом случае вычисляют с помощью интегралов.