Как найти геометрические площади фигур

Существует бесконечное количество плоских фигур самой разной формы, как правильных, так и неправильных. Общее свойство всех фигур – любая из них обладает площадью. Площади фигур – это размеры части плоскости, занимаемой этими фигурами, выраженные в определенных единицах. Величина эта всегда бывает выражена положительным числом. Единицей измерения служит площадь квадрата, чья сторона равняется единице длины (например, одному метру или одному сантиметру). Приблизительное значение площади любой фигуры можно вычислить, умножив количество единичных квадратов, на которые она разбита, на площадь одного квадрата.

Другие определения данного понятия выглядят следующим образом:

1. Площади простых фигур – скалярные положительные величины, удовлетворяющие условиям:

Видео: 02. Геометрия на ЕГЭ по математике. Вычисление площадей фигур.

– у равных фигур – равные величины площадей-

– если фигура делится на части (простые фигуры), то ее площадь – сумма площадей данных фигур-

– квадрат, имеющий стороной единицу измерения, служит единицей площади.

2. Площади фигур сложной формы (многоугольников) – положительные величины, имеющие свойства:

Видео: Геометрический смысл определенного интеграла (2)

– у равных многоугольников – одинаковые величины площадей-

– в случае, если многоугольник составляют несколько других многоугольников, его площадь равняется сумме площадей последних. Это правило справедливо для неперекрывающихся многоугольников.

В качестве аксиомы принято утверждение, что площади фигур (многоугольников) – положительные величины.

Определение площади круга дается отдельно как величины, к которой стремится площадь правильного многоугольника, вписанного в окружность данного круга – при том, что число его сторон стремится к бесконечности.

Видео: Применение определенного интеграла (площадь). Пример от bezbotvy

Площади фигур неправильной формы (произвольных фигур) не имеют определения, определяются лишь способы их вычисления.

Вычисление площадей уже в древности было важной практической задачей при определении размеров земельных участков. Правила вычисления площадей за несколько сотен лет до нашей эры были сформулированы греческими учеными и изложены в «Началах» Евклида как теоремы. Интересно, что правила определения площадей простых фигур в них – те же, что и в настоящее время. Площади геометрических фигур, имеющих криволинейный контур, рассчитывались с применением предельного перехода.

Вычисление площадей простых фигур (треугольника, прямоугольника, квадрата), знакомых всем со школьной скамьи, достаточно просто. Необязательно даже запоминать содержащие буквенные обозначения формулы площадей фигур. Достаточно помнить несколько простых правил:

1. Чтобы рассчитать площадь квадрата, нужно длину его стороны умножить саму на себя (или возвести во вторую степень).

2. Площадь прямоугольника вычисляется умножением его длины на ширину. При этом необходимо, чтобы длина и ширина были выражены в одних и тех же единицах измерения.

3. Площадь сложной фигуры вычисляем, разделив ее на несколько простых и сложив полученные площади.

Видео: GetAClass - Площади геометрических фигур 4. Теорема Пифагора

4. Диагональ прямоугольника делит его на два треугольника, чьи площади равны и равняются половине его площади.

5. Площадь треугольника вычисляется как половина произведения его высоты и основания.

6. Площадь круга равняется произведению квадрата радиуса на всем известное число «&pi-».

7. Площадь параллелограмма вычисляем как произведение смежных сторон и синуса лежащего между ними угла.

8. Площадь ромба – ½- результата умножения диагоналей на синус внутреннего угла.

9. Площадь трапеции находим умножением ее высоты на длину средней линии, которая равняется среднему арифметическому оснований. Другой вариант определения площади трапеции – перемножить ее диагонали и синус лежащего между ними угла.

Детям в начальной школе для наглядности часто даются задания: найти площадь нарисованной на бумаге фигуры с помощью палетки или листа прозрачной бумаги, разграфленной на клеточки. Такой лист бумаги накладывается на измеряемую фигуру, считается число полных клеточек (единиц площади), поместившихся в ее контуре, затем число неполных, которое делится пополам.