Как найти площадь квадрата по его стороне и по его диагонали?

Сегодня мало кто не знает, как найти площадь квадрата. Хотя нет, это было уже в далёком вчера… То есть, в то время, когда всем было известно, как вычислить площадь квадрата, ведь сегодня, как бы это ни звучало абсурдно, такие вопросы постоянно стали появляться в интернете. Это странно, если не сказать больше – страшно.

Видео: Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Ещё в начальной школе учат, как узнать площадь квадрата. Но сначала следует научиться определять площадь прямоугольников (а квадрат – всё-таки прямоугольник, только с равными сторонами).

Предлагается взять за основу некую квадратную меру измерения площадей – квадратный сантиметр или квадратный метр. Эта мера площадей представляет собой квадрат со стороной, равной либо одному сантиметру, либо одному метру. В зависимости от размера площади, подлежащей измерению, это может быть гектар (квадратный километр) или ар (квадрат со стороной в 100 метров, по-другому – «сотка»). Эти квадраты и укладывают мысленно на измеряемый прямоугольник.

Видео: Урок 5 Задача о площади квадрата по известной диагонали

Для опыта следует взять небольшой прямоугольник со сторонами, например, равными 3 и 5 сантиметрам. Для наглядности младшим школьникам предлагается начертить фигуру на листе в клетку, разделив затем прямоугольник параллельными прямыми по длине и ширине, расположив их на расстоянии двух клеток. Предположительно, две клеточки в обычной школьной тетради соответствуют одному сантиметру. Таким образом, выходит, что прямоугольник разделён на квадратные сантиметры, то есть в нём размещены квадратные сантиметры – меры измерения площади.

Следующим этапом является подсчёт вместившихся в прямоугольник квадратиков со стороной в один сантиметр. Можно сначала пересчитать их обычным способом, указывая на каждый палочкой. Но затем обязательно нужно использовать уже разученную таблицу умножения: получилось пять столбиков, в каждом по три квадратика. Перемножив их, легко получаем 15 квадратных сантиметров. Если говорить простым языком, то площадь любого прямоугольника находится перемножением его длины и ширины.

Видео: Точка D лежит на стороне BC треугольника ABC, точка K на стороне AC

Заменив число 5 на «а», а число 3 на «b», дети легко выводят формулу нахождения площади прямоугольника. Итак, получается, что S=a x b. Но это – формула для прямоугольника. Нам же нужно вывести правило, объясняющее, как найти площадь квадрата!

Да очень просто! Стороны у квадрата равны, значит, можно заменить сторону « b» в этой формуле на «а». Тогда выводится следующее выражение: S=a x а. Умножение числа на само себя получает квадрат этого числа или число во второй степени.

Видео: Теорема о несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной

Однако есть и другие способы нахождения площади квадратов. Это, конечно, уже скорее математические задачи. Но при их решении выводятся определённые формулы. Например, задано узнать, какнайти площадь квадратане по стороне, а по его диагонали.

Чтобы решить такую задачу, уже мало знаний начальной школы. Нам потребуется теорема Пифагора. Сначала построим квадрат, например, NMOP с диагональю NO=m. Получаем два равных равнобедренных прямоугольных треугольника с основанием m.

Применив выше названную теорему, находим сторону прямоугольного треугольника. NM в квадрате + MO в квадрате = NO в квадрате. Но так как NM=MO, то получаем NM в квадрате + NM в квадрате = NO в квадрате. Отсюда 2 NM в квадрате = NO в квадрате. Найти NM в квадрате можно делением NO в квадрате на два.

Но ведь NM в квадрате – это как раз и есть ответ на вопрос, как найти площадь квадрата! А NO – это диагональ квадрата. Значит, можем вывести новую формулу, гласящую, что площадь квадрата равна половине его диагонали, возведённой во вторую степень.

Можно вывести формулу нахождения площади квадрата по радиусу либо вписанной в него окружности, либо описанной вокруг него. Но какую бы задачу мы не стали решать, фундаментом вечно останется правило, которое мы изучаем в начальной школе, - о том, что перемножив две стороны прямоугольника, можно узнать его площадь.