Как найти площадь треугольника

Если у вас появилась нужда найти площадь треугольника, не переживайте, что вы давно позабыли все то, что учителя вкладывали в вашу голову в школе. Наша статья расскажет вам о том, как решить этот вопрос, причем разными способами.

Для начала вспомним, что треугольник представляет собой фигуру, которая образована при пересечении трех прямых линий. Три точки, где прямые пересекаются, - это вершины фигуры, а отрезки, им противоположные, - это ребра треугольника. Существует несколько частных видов треугольников (равнобедренный, прямоугольный, равносторонний), площади которых мы также будем искать.

Как вычислить площадь треугольника по общей формуле

Для самого общего случая площадь заданной геометрической фигуры рассчитывается по такой формуле: Площадь = ½- длины одной из сторон фигуры, помноженной на длину высоты, опущенной к данной стороне.

Найти площадь треугольника, если нам известны все три его стороны

В том случае, если вам известны все три стороны треугольника, то площадь его вы можете найти при помощи формулы Герона. Для начала найдем полупериметр треугольника, сложив длины всех трех его сторон и поделив на два. Затем уже находим квадрат площади, согласно следующей формуле: SS=р (р-а)(р-б)(р-в), где а, б, в – это длины сторон фигуры, а р – половинный периметр. Для нахождения площади просто извлекаем квадратный корень из получившегося значения.

Найти площадь треугольника, если нам известна его гипотенуза, катет и образованный ими угол

Для этого воспользуемся тригонометрической табличкой и такой формулой:

S=1/2*а*б*sinB, где а и б – катет с гипотенузой, а В – тот угол, который образован при их пересечении.

По данной формуле мы может найти и площадь обычного треугольника, и равностороннего, и равнобедренного, и прямоугольного.

Найти площадь треугольника, если нам известен катет и угол, противолежащий ему

Применяем формулу: S=1/2(а*а)/(2tgB), где а – известный катет, а B – угол, ему противолежащий.

Находим площадь треугольника, если знаем только гипотенузу и катет

Сначала найдем значение FF=1/2(в*в – а*а). Затем извлекаем из этого числа корень (F) и подставляем в формулу для нахождения площади треугольной фигуры: S=а*F. Здесь а – это катет, в – гипотенуза.

Находим площадь треугольника, если знаем один из острых углов и гипотенузу

Известные по условию задачки значения подставляем в формулу: S=1/2(в*в)* cosA*sinA*. Тут острый угол – это А, а в – гипотенуза.

Найти площадь треугольника по координатам вершин

Видео: Как находить площадь треугольника

Если вам по условию задачки заданы координаты трех точек, которые являются вершинами треугольной фигуры, то вы также можете рассчитать площадь.

Итак, вам даны вершины А (х1, у1), Б (х2, у2), В (х3, у3). Для нахождения площади пользуемся такой формулой: S=1/2((х1-х3)(у2-у3) - (х2-х3)(у1-у3)). При этом помните, что обязательно берется модуль от того значения, которое вы в скобках вычисляете, потому как некоторые точки могут иметь координаты со знаком «минус».

Видео: Найдите площадь треугольника изображённого

Также вы можете действовать и по-другому.

Способ 1. Находим сначала длины всех сторон треугольной фигуры, а затем используем формулу Герона, которая была описана выше. Сначала находим квадраты сторон по таким формулам:

АБ*АБ=(х1-х2)(х1-х2) + (у1-у2)(у1-у2)-

БВ*БВ=(х2-х3)(х2-х3) + (у2-у3)(у2-у3)-

Видео: Площади треугольника, парпллелограмма и трапеции

ВА*ВА=(х3-х1)(х3-х1) + (у3-у1)(у3-у1).

Находим половинный периметр треугольной фигуры:

Видео: Задание №3 ЕГЭ 2016 по математике. Урок 8

р=12(АБ+ БВ+ ВА)

Теперь подставляем значения в формулу:

SS=р(р-АБ)(р-БВ)(р-ВА). Это получилась площадь в квадрате. Извлекаем из значения корень и находим, наконец, то, что искали.

Кстати, ради любопытства вы можете рассчитать площадь по координатам двумя вышеизложенными способами. Тогда вы узнаете, что итоговые значения будут немного расходиться. Происходит это потому, что результат, полученный при первом расчете, будет иметь округленное значение, нежели результат, полученный при помощи формулы Герона. Таким образом, для получения более точных данных рекомендуется использовать второй способ.