Периметр квадрата находим самыми разными способами

Иногда перед человеком встаёт вплотную необходимость найти периметр квадрата. Например, нужно сделать ограду вокруг квадратного участка, оклеить обоями квадратную комнату или оформить зеркалами стены квадратного танцевального зала. Чтобы вычислить количество необходимого материала, нужно сделать специальные расчёты. И вот тут-то, не зная, как находить периметр квадрата, придётся приобретать материал «на глазок». Ладно, если это будут недорогие обои, а вот лишние зеркала куда потом девать? Да и при нехватке материала потом довольно трудно подобрать дополнительный такого же качества.

Видео: Видео урок гиа по математике 2013: Найти площадь фигуры.

Итак, как узнать, чему равен периметр квадрата? Мы знаем, что у квадрата все стороны равны. И если периметр – это сумма всех сторон многоугольника, то периметр квадрата можно записать, как (q+q+q+q), где q – величина, обозначающая длину одной стороны квадрата. Естественно, что удобнее всего здесь воспользоваться умножением. Итак, периметр квадрата – это учетверённая величина, соответствующая длине его стороны или 4q, где q – сторона.

Но если известна только площадь квадрата, периметр которого нужно узнать – как поступить в этом случае? И тут всё очень просто! Из известной цифры, которой выражена площадь квадрата, нужно произвести извлечение квадратного корня. Таким образом будет найдена величина стороны квадрата. Теперь искать периметр квадрата нужно по выведенной выше формуле.

Другой вопрос, если нужно найти периметр квадрата по его диагонали. Здесь следует вспомнить теорему Пифагора. Рассмотрим квадрат WERT с диагональю WR. WR разделила квадрат на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Если известна длина диагонали (условно примем её за z, а сторону – за u), то величину стороны квадрата нужно искать, исходя из формулы: квадрат z равен удвоенному квадрату u, откуда делаем вывод: u равна квадратному корню, извлечённому из половины квадрата гипотенузы. Дальше уже увеличиваем полученный результат в 4 раза – вот вам и периметр квадрата!

Найти сторону квадрата можно по радиусу вписанной в него окружности. Ведь вписанная окружность прикасается ко всем сторонам квадрата, откуда делается вывод – диаметр окружности равняется длине стороны квадрата. А диаметр - это известно всем - удвоенный радиус.

Если известен радиус или диаметр окружности, описанной вокруг квадрата, то здесь мы видим, что все 4 вершины квадрата располагаются на окружности. Значит, диаметр описанной окружности равен длине диагонали квадрата. Приняв это положение как данность, далее следует высчитывать периметр по формуле нахождения периметра по его диагонали, рассмотренной выше.

Иногда предлагается задача, в которой нужно узнать, каков периметр квадрата, который является вписанным в равнобедренный прямоугольный треугольник таким образом, что один угол квадрата совпадает с прямым углом треугольника. Известной является катет данной геометрической фигуры. Обозначим треугольник как WER, где вершина Е является общей.

Видео: систем линейных уравнений способом подстановки

Вписанный квадрат будет иметь обозначение ETYU. Сторона ET лежит на стороне WE, а сторона EU – на стороне ER. Вершина Y лежит на гипотенузе WR. Рассматривая далее чертёж, можно сделать выводы:

1. WTY – равнобедренный треугольник, так как по условию WER – равнобедренный, значит, угол EWR равен 45 градусам, и получившийся треугольник - прямоугольный с углом при основании также 45 градусов, что позволяет нам утверждать его равнобедренность. Отсюда вытекает, что WT=TY.
2. TY=ET как стороны квадрата.
3. Следуя этому же алгоритму, выводим следующее: YU=UR, а UR=EU.
4. Стороны треугольника можно представить как сумму отрезков. EW=ET+TW, а ER= EU+UR.
5. Заменив равные отрезки, выводим: EW=ET+TY, а ER=EU+UY.
6. Если периметр вписанного квадрата выражается формулой (ET+TY)+(EU+UY), то по-другому это можно записать, имея ввиду только что выведенные значения сторон треугольника, как EW+ER. То есть периметр вписанного в прямоугольный треугольник квадрата с совпадающим прямым углом будет равен сумме его катетов.

Это, конечно, не все варианты вычисления периметра квадрата, а только наиболее часто встречающиеся. Но все они основываются на том, что периметр четырёхугольника – это суммированное значение всех его сторон. И от этого никуда не деться!