Двойной интеграл. Задачи. Свойства

Задачи, которые приводят к понятию «двойной интеграл».

Видео: Двойной интеграл в прямоугольных координатах. Вопросы

1. Пусть в плоскости задана плоская материальная пластинка, в каждой точке которой известна плотность. Нужно найти массу этой пластинки. Так как данная пластинка имеет четкие размеры, то она может быть заключена в прямоугольник. Плотность пластинки можно понимать еще и так: в тех точках прямоугольника, которые не принадлежат пластинке, будем считать, что плотность равна нулю. Зададим равномерное разбитие на одинаковое количество частиц. Таким образом, заданная фигура будет разбита на элементарные прямоугольники. Рассмотрим один из таких прямоугольников. Выберем любую точку данного прямоугольника. В силу малости размеров такого прямоугольника будем считать, что плотность в каждой точке данного прямоугольника является величиной постоянной. Тогда масса такой прямоугольной частички, будет определяться как умножение плотности в этой точке на площадь прямоугольника. Площадь, как известно, это умножение длины прямоугольника на ширину. А на координатной плоскости – это изменение с некоторым шагом. Тогда масса всей пластинки составит сумму масс таких прямоугольников. Если в таком соотношении перейти к границе, тогда можно получить точное соотношение.
2. Зададим пространственное тело, которое ограничено началом координат и некоторой функцией. Нужно найти объем указанного тела. Как и в предыдущем случае, разобьем область на прямоугольники. Будем считать, что в точках, которые не принадлежат области, функция будет равна 0. Рассмотрим одно из прямоугольных разбитий. Через стороны данного прямоугольника проведем плоскости, которые перпендикулярны к осям абсцисс и ординат. Получим параллелепипед, который снизу ограничен плоскостью относительно оси аппликат, а сверху той функцией, которая была задана в условии задачи. Выберем в середине прямоугольника точку. В силу малости размеров данного прямоугольника можно считать, что функция в рамках этого прямоугольника имеет постоянное значение, тогда и можно рассчитать объем прямоугольника. А объем фигуры будет равен суммам всех объемов таких прямоугольников. Чтобы получить точное значение, необходимо перейти к границе.

Как видно из поставленных задач, в каждом примере приходим к выводу, что разные задачи приводят к рассмотрению двойных сумм одинакового вида.

Свойства двойного интеграла.

Поставим задачу. Пусть в некоторой замкнутой области задана функция двух переменных, при чем заданная функция непрерывная. Так как область ограничена, то можно поместить ее в любой прямоугольник, который полностью содержит в себе свойства точки заданной области. Разобьем прямоугольник на равные части. Назовем диаметром разбития самую большую диагональ из получившихся прямоугольников. Выберем теперь в границах одного такого прямоугольника точку. Если найти значение в этой точке сложить сумму, тогда такая сумма будет называться интегральной для функции в заданной области. Найдем границу такой интегральной суммы, при условиях, что диаметр разбития следует к 0, а количество прямоугольников – к бесконечности. Если такая граница существует и не зависит от способа разбития области на прямоугольники и от выбора точки, тогда она называется – двойной интеграл.

Видео: Семинар: Решение задач. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница

Геометрическое содержание двойного интеграла: двойной интеграл числительно равен объему тела, которое было описано в задаче 2.

Зная двойной интеграл (определение), можно установить следующие свойства:

Видео: Изменить порядок интегрирования.Двойной интеграл

1. Постоянную можно выносить за знак интеграла.
2. Интеграл суммы (разницы) равен сумме (разнице) интегралов.
3. Из функций меньше будет та, двойной интеграл которой меньше.
4. Модуль можно вносить под знак двойного интеграла.