Что такое условная вероятность и как ее правильно рассчитывать?

Нередко в жизни мы сталкиваемся с тем, что нужно оценить шансы наступления какого-либо события. Стоит ли покупать лотерейный билет или нет, каков будет пол третьего ребенка в семье, будет ли завтра ясная погода или снова пойдет дождь – таких примеров можно привести бесчисленное множество. В самом простом случае следует разделить число благоприятных исходов на общее число событий. Если в лотерее 10 билетов выигрышных, а всего их 50, то шансы получить приз равны 10/50 = 0,2, то есть 20 против 100. А как поступать в том случае, если есть несколько событий, и они тесно связаны между собой? В этом случае нас будет интересовать уже не простая, а условная вероятность. Что это за величина и как ее можно посчитать – об этом как раз и будет рассказано в нашей статье.

Понятие

Условная вероятность – это шансы наступления определенного события при условии, что другое связанное с ним событие уже произошло. Рассмотрим простой пример с бросанием монетки. Если жеребьевки еще не было, то шансы выпадения орла или решки будут одинаковыми. Но если раз пять подряд монетка ложилась гербом вверх, то согласитесь ожидать 6-го, 7-го, а тем более 10-го повторения такого исхода будет нелогично. С каждым повторным разом выпадения орла, шансы появления решки растут и рано или поздно она-таки выпадет.

Формула условной вероятности

Давайте теперь разберемся с тем, как эта величина рассчитывается. Обозначим первое событие через В, а второе через А. Если шансы наступления В отличны от нуля, то тогда будет справедливым следующее равенство:

Р (А|В) = Р (АВ) / Р (В), где:

• Р (А|В) – условная вероятность итога А;
• Р (АВ) – вероятность совместного появления событий А и В;
• Р (В) – вероятность события В.

Видео: Определение вероятности при работе с числами

Слегка преобразовав данное соотношение получим Р (АВ) = Р(А|В) * Р (В). А если применить метод индукции, то можно вывести формулу произведения и использовать ее при произвольном числе событий:

Р (А₁, А₂, А₃,&hellip-А_п) = Р (А₁|А₂&hellip-А_п)*Р(А₂|А₃&hellip-А_п) * Р (А₃|А₄&hellip-А_п)&hellip- Р (А_п-1|А_п) * Р (А_п).

Видео: Как найти определитель матрицы 2х2, 3х3 и 4х4

Практика

Чтобы было легче разобраться с тем, как рассчитывается условная вероятность события, рассмотрим парочку примеров. Предположим имеется ваза, в которой находятся 8 шоколадных конфет и 7 мятных. По размерам они одинаковы и наугад последовательно вытаскиваются две из них. Какие будут шансы того, что обе из них окажутся шоколадными? Введем обозначения. Пусть итог А означает, что первая конфета шоколадная, итог В – вторая конфета шоколадная. Тогда получится следующее:

Видео: Определение вероятности при работе с числами

Р (А) = Р (В) = 8 / 15,

Р (А|В) = Р (В|А) = 7 / 14 = 1/2,

Видео: Вычисления в Excel. Формулы.

Р (АВ) = 8 /15 х 1/2 = 4/15 &asymp- 0,27

Рассмотрим еще один случай. Предположим, есть двухдетная семья и нам известно, что, по крайней мере, один ребенок является девочкой. Какова условная вероятность того, что мальчиков у этих родителей пока нет? Как и в предыдущем случае, начнем с обозначений. Пусть Р (В) – вероятность того, что в семье есть хотя бы одна девочка, Р (А|В) – вероятность того, что второй ребенок тоже девочка, Р (АВ) – шансы того, что в семье две девочки. Теперь произведем расчёты. Всего может быть 4 разных комбинаций пола детей и при этом лишь в одном случае (когда в семье два мальчика), девочки среди детей не будет. Поэтому вероятность Р (В) = 3/4, а Р (АВ) = 1/4. Тогда следуя нашей формуле получим:

Видео: Что такое вероятность для чайников

Р (А|В) = 1/4 : 3/4 = 1/3.

Интерпретировать результат можно так: если бы нам не было б известно о поле одного из детей, то шансы двух девочек были бы 25 против 100. Но поскольку мы знаем, что один ребенок девочка, вероятность того, что в семье мальчиков нет, возрастает до одной третьей.