Парадокс Монти Холла

Попробуем разобрать давно нашумевшую задачку, опубликованную 23 года назад в журнале "Parade Magazine" и ставшую своеобразным эхом известного американского шоу "Давайте заключим сделку" (в переводе). В основах задачи стоял парадокс Монти Холла.

Попробуем восстановить описываемые события. Представьте себя участником проводимого тогда шоу. Вас подводят к трем дверям и дают возможность указать лишь на одну, предупредив при этом, что за каждой дверью спрятаны призы. Главным призом являются ключи от шикарного автомобиля, которые вы заберете, если откроете "правильную" дверь, за оставшимися дверями спрятали утешительные призы, а точнее — по козлу. Конечно, утешительный приз вас не обрадует, — вас интересует главный приз.

После долгого раздумья вы в нерешительности указываете на одну из дверей (скажем, на первую). О том, что представляет парадокс Монти Холла, вы, разумеется, не знаете, а потому просто уповаете на то, что чудеса все-таки порой случаются.

Видео: Разрушители легенд:парадокс монти холла

Но ведущий почему-то открывает не ту дверь, на которую решили указать вы, а другую (он-то точно знает, где именно спрятаны ключики). И открывает он ту дверь, за которой спрятали козла. Скажем, третью. Ведущий облегчает задачу, предоставляя теперь для выбора только две двери. Мало того, он предлагает еще раз подумать и разрешает назвать другую дверь, если у вас появились сомнения.

Увеличится ли шанс забрать ключи, если вы измените решение и укажете на другую дверь? Подумайте минутку. На чем остановитесь?

Правильный ответ: открывая другую дверь, вы увеличиваете шансы на получение ключей вдвое. Сомневаетесь? Многие сомневаются. Но именно в этом и состоит парадокс Монти Холла.

Объяснение парадокса в следующем. Допустим, вы выбираете теперь первую дверь. Представим двери в виде двух величин (значений). Величину А обозначим первую (выбранную только что вами) дверь, а величиной В — оставшиеся двери. Вероятность попадания ключей в А составляет 1/3, а возможность попадания ключей во вторую величину В равна, соответственно, 2/3. Согласны? Далее. Если бы у вас появилась возможность открыть вторую и третью двери, склонившись в пользу величины В, то шансы уехать на автомобиле стало бы вдвое больше.

Видео: Парадокс Монти Холла - Numberphile

Рассмотрим это пристальнее. Вы уверены, что в величине В наверняка есть козел (минимум один) и, возможно, ключи. Открытие одной двери особо, вроде бы, положение не меняет: по прежнему остаются две возможности: выигрыш автомобиля и выигрыш козла. Но, остановившись на величине В, вероятность выигрыша вы все-таки увеличите до 2/3, ведь для величины А вероятность составляет лишь 1/3.

Еще один, уже схематический, пример:

д1 д2 д3 смена выбора без смены выбора
к ж ж ж к
ж к ж к ж
ж ж к к ж

где д1 — дверь первая, д2 — дверь вторая, д3 — дверь третья, ж — животное (козел), к — ключи (машина).

Некоторые не принимают парадокс Монти Холла всерьез, утверждая, что вероятность выигрыша ключей по-прежнему 50/50 ("или-или"). Но многоразовая проверка все-таки подтверждает: теория имеет свое обоснованное право на существование и срабатывает в 2/3 случаев из всех представленных. Скажем, из тридцати представленных возможностей сыграть вам удастся найти правильный ответ в двадцати. А это довольно высокий процент.

И часто именно парадокс Монти Холла используют игроки, делая ставки на рулетке, или играя в карты. Почему же тогда они проигрывают? Ответ очевиден: губит жадность. Или азарт. Как угодно. Сняв банк, игрок уже не в силах остановить разбушевавшиеся чувства и делает еще одну ставку, уже забывая о теории. А ведь проигрыш никто не отменял. Речь идет о процентном соотношении выигрыша к проигрышу.

Видео: Парадокс Монти Холла (из фильма «21»)

Парадокс Монти Холла доказывает: после открытой двери с козлом играющему всегда выгоднее изменить первоначальный выбор, поскольку шансы все-таки увеличиваются. Вот такие вот они, парадоксы теории вероятности.

Если же объяснение осталось вам непонятным, попробуйте проигнорировать пока эти доводы и проверьте теорию статистически (или, если угодно, экспериментально, в серии экспериментов). Подобная математика всегда увлекательна. Удачи!