Доверительный интервал. Что это такое и как его можно использовать?

Доверительный интервал пришел к нам из области статистики. Это определенный диапазон, который служит для оценки неизвестного параметра с высокой степенью надежности. Проще всего это будет пояснить на примере.

Видео: Вязкостные присадки моторных масел Unol tv #2 (1часть)

Предположим, нужно исследовать какую-либо случайную величину, например, скорость отклика сервера на запрос клиента. Каждый раз, когда пользователь набирает адрес конкретного сайта, сервер реагирует на это с разной скоростью. Таким образом, исследуемое время отклика имеет случайный характер. Так вот, доверительный интервал позволяет определить границы этого параметра, и затем можно будет утверждать, что с вероятностью в 95% скорость реакции сервера будет находиться в рассчитанном нами диапазоне.

Или же нужно узнать, какому количеству людей известно о торговой марке фирмы. Когда будет подсчитан доверительный интервал, то можно будет, к примеру, сказать что с 95% долей вероятности доля потребителей, знающих о данной торговой марке, находится в диапазоне от 27% до 34%.

С этим термином тесно связана такая величина, как доверительная вероятность. Она представляет собой вероятность того, что искомый параметр входит в доверительный интервал. От этой величины зависит то, насколько большим окажется наш искомый диапазон. Чем большее значение она принимает, тем уже становится доверительный интервал, и наоборот. Обычно ее устанавливают равной 90%, 95% или 99%. Величина 95% наиболее популярна.

На данный показатель также оказывает влияние дисперсия наблюдений и размер выборки. Его определение основано на том предположении, что исследуемый признак подчиняется нормальному закону распределения. Это утверждение известно также как Закон Гаусса. Согласно ему, нормальным называется такое распределение всех вероятностей непрерывной случайной величины, которое можно описать плотностью вероятностей. Если предположение о нормальном распределении оказалось ошибочным, то оценка может оказаться неверной.

Сначала разберемся с тем, как вычислить доверительный интервал для математического ожидания. Здесь возможны два случая. Дисперсия (степень разброса случайной величины) может быть известна либо нет. Если она известна, то наш доверительный интервал вычисляется с помощью следующей формулы:

хср – t*&sigma- / (sqrt(n)) <= &alpha- <= хср + t*&sigma- / (sqrt(n)), где

Видео: Розовое масло для здоровья женщины, ребенка и омоложения организма изнутри и снаружи. Добавка ИПАР

&alpha- – признак,

t – параметр из таблицы распределения Лапласа,

sqrt(n) – квадратный корень общего объема выборки,

&sigma- – квадратный корень дисперсии.

Если дисперсия неизвестна, то ее можно рассчитать, если нам известны все значения искомого признака. Для этого используется следующая формула:

&sigma-2 = х2ср – (хср)2, где

х2ср – среднее значение квадратов исследуемого признака,

(хср)2 – квадрат среднего значения данного признака.

Формула, по которой в этом случае рассчитывается доверительный интервал немного меняется:

хср – t*s / (sqrt(n)) <= &alpha- <= хср + t*s / (sqrt(n)), где

хср – выборочное среднее,

&alpha- – признак,

t – параметр, который находят с помощью таблицы распределения Стьюдента t = t( -n-1),

sqrt(n) – квадратный корень общего объема выборки,

s – квадратный корень дисперсии.

Рассмотри такой пример. Предположим, что по результатам 7 замеров была определена средняя величина исследуемого признака, равная 30 и дисперсия выборки, равная 36. Нужно найти с вероятностью в 99% доверительный интервал, который содержит истинное значение измеряемого параметра.

Вначале определим чему равно t : t = t (0,99- 7-1) = 3.71. Используем приведенную выше формулу, получаем:

хср – t*s / (sqrt(n)) <= &alpha- <= хср + t*s / (sqrt(n))

30 – 3.71*36 / (sqrt(7)) <= &alpha- <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))

21.587 <= &alpha- <= 38.413

Доверительный интервал для дисперсии рассчитывается как в случае с известным средним, так и тогда, когда нет никаких данных о математическом ожидании, а известно лишь значение точечной несмещенной оценки дисперсии. Мы не будем приводить здесь формулы его расчета, так как они довольно сложные и при желании их всегда можно найти в сети.

Отметим лишь, что доверительный интервал удобно определять с помощью программы Excel или сетевого сервиса, который так и называется.