Производная синуса угла равна косинусу того же угла

Видео: Синус, косинус, тангенс, котангенс. Тригонометрия #1

Дана простейшая функция тригонометрии у = Sin(х), она дифференцируема в каждой своей точке из всей области определения. Необходимо доказать, что производная синуса любого аргумента равна косинусу того же угла, то есть у&rsquo- = Cos(х).

Доказательство основывается на определении производной функции

Зададим х (произвольное) в некоторой малой окрестности &Delta-х конкретной точки х₀. Покажем значение функции в ней и в точке х, чтобы найти приращение заданной функции. Если &Delta-х приращение аргумента, то новый аргумент - это х₀+&Delta-x = х, значение данной функции при заданном значении аргумента у(х) равно Sin(х₀+&Delta-x), значение функции в конкретной точке у(х₀) тоже известно.

Теперь имеем &Delta-у= Sin(х₀+&Delta-х)-Sin(х₀) полученное приращение функции.

Видео: Вписанный угол равен половине центрального угла

По формуле синуса суммы двух неодинаковых углов будем преобразовывать разность &Delta-у.

&Delta-у = Sin(х₀)·-Cos(&Delta-х)+Cos(х₀)·-Sin(&Delta-x) минус Sin(х₀) = (Cos(&Delta-x)-1)·-Sin(х₀)+Cos(х₀)·-Sin(&Delta-х).

Выполнили перестановку слагаемых, сгруппировали первое с третьим Sin(х₀), вынесли общий множитель - синус - за скобки. Получили в выражении разность Cos(&Delta-х)-1. Осталось сменить знак перед скобкой и в скобках. Зная, чему равно 1-Cos(&Delta-х), сделаем замену и получим упрощенное выражение &Delta-у, которое затем разделим на &Delta-х.
&Delta-у/&Delta-х будет иметь вид: Cos(х₀)·-Sin(&Delta-х)/&Delta-х-2·-Sin²(0,5·-&Delta-х)·-Sin(х₀)/&Delta-х. Это и есть отношение приращения функции к допущенному приращению аргумента.

Осталось найти предел полученного нами отношения lim при &Delta-х, стремящегося к нулю.

Известно, что предел Sin(&Delta-х)/&Delta-x равен 1, при данном условии. А выражение 2·-Sin²(0,5·-&Delta-х)/&Delta-х в полученном частном подведем преобразованиями к произведению, содержащему в качестве множителя первый замечательный предел: числитель и знеменатель дроби разделим на 2, квадрат синуса заменим произведением. Вот так:
(Sin(0,5·-&Delta-x)/(0,5·- &Delta-x))·-Sin(&Delta-x/2).
Предел этого выражения при &Delta-х, стремящемся к нулю, будет равен числу ноль (1 умножить на 0). Выходит, что предел отношения &Delta-y/&Delta-х равен Cos(х₀)·-1-0, это и есть Cos(х₀), выражение, которое не зависит от &Delta-х, стремящегося к 0. Отсюда следует вывод: производная синуса любого угла х равна косинусу х, запишем так: у&rsquo- = Cos(х).

Видео: Зачем нужны синусы и косинусы?

Полученная формула занесена в известную таблицу производных, где собраны все элементарные функции

Видео: Тригонометрия. Формулы приведения

При решении задач, где встречается производная синуса, можно пользоваться правилами дифференцирования и готовыми формулами из таблицы. Например: найти производную простейшей функции у=3·-Sin(х)-15. Воспользуемся элементарными правилами дифференцирования, выноса числового множителя за знак производной, и вычисления производной постоянного числа (она равна нулю). Применим табличное значение производной синуса угла х, равное Cos(х). Получаем ответ: y` = 3·-Cos(x)-O. Эта производная, в свою очередь, тоже является элементарной функцией у = З·-Cos(х).

Производная синуса в квадрате от любого аргумента

При вычислении данного выражения (Sin²(х))&rsquo- необходимо вспомнить, как дифференцируется сложная функция. Итак, у = Sin²(х) является степенной функцией, так как синус в квадрате. Аргументом ее является тоже тригонометрическая функция,сложный аргумент. Результат в этом случае равен произведению, первый множитель которого производная квадрата данного сложного аргумента, а второй производная от синуса. Вот как выглядит правило дифференцирования функции от функции: (u(v(х)))` равна (u(v(х)))`·-(v(х))`. Выражение v(х) сложный аргумент (внутренняя функция). Если дана функция "игрек равен синусу в квадрате х", то производная этой сложной функции будет у` = 2·-Sin(х)·-Cos(x). В произведении первый удвоенный множитель производная известной степенной функции, а Cos(х) производная синуса, аргумента сложной квадратичной функции. Окончательный результат можно преобразовать, воспользовавшись тригонометрической формулой синуса двойного угла. Ответ: производная равна Sin(2·-x). Эта формула легко запоминается, ею часто пользуются как табличной.