Полное исследование функции и дифференциальное исчисление

Получив обширные знания в работе с функциями, мы вооружились достаточным набором инструмента, позволяющего провести полное исследование конкретно заданной математически закономерности в виде формулы (функции). Конечно, можно было бы пойти наиболее простым, но кропотливым путём. К примеру, задаться границами аргумента, выбрать интервал, вычислить на нем значения функции и построить график. При наличии мощных современных компьютерных систем эта задача решается за считанные секунды. Но убрать из своего арсенала полное исследование функции математики не спешат, так как именно этими методами можно провести оценку правильности работы компьютерных систем в решении подобных задач. При механическом построении графика мы не можем гарантировать точность заданного выше интервала в выборе аргумента.

И лишь после того, как проведено полное исследование функции, можно быть уверенным, что учтены все нюансы «поведения» таковой не на выборочном интервале, а на всём диапазоне аргумента.

Для решения самых разнообразных задач в областях физики, математики и техники возникает необходимость провести исследование функциональной зависимости между переменными, участвующими в рассматриваемом явлении. Последнее, заданное аналитически одной или набором из нескольких формул, позволяет проводить исследование методами математической аналитики.

Провести полное исследование функции – это выяснить и определить участки, на которых она возрастает (убывает), где достигает максимума (минимума), а также прочие особенности её графика.

Имеются определённые схемы, по которым производится полное исследование функции. Примеры перечней проводимых математических исследований сводятся к нахождению практически одинаковых моментов. Примерный план анализа предполагает проведение следующих исследований:

Видео: Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f(x) и построить ее график

- находим область определения функции, исследуем поведение в пределах ее границ-

- осуществляем нахождение точек разрыва с классификацией при помощи односторонних пределов-

- проводим определение асимптот-

- находим точки экстремума и интервалы монотонности-

- производим определение точек перегиба, интервалов вогнутости и выпуклости-

- осуществляем построение графика на основе полученных в ходе исследования результатов.

При рассмотрении только некоторых пунктов этого плана стоит отметить, что дифференциальное исчисление оказалось весьма удачным инструментом для исследования функции. Имеются довольно несложные связи, существующие между поведением функции и особенностями ее производной. Для решения этой задачи вполне достаточно вычислить первую и вторую производную.

Рассмотрим порядок нахождения интервалов убывания, возрастания функции, они ещё получили имя интервалов монотонности.

Видео: Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 6 Приложения производной продолжение

Для этого достаточно определить знак первой производной на определённом отрезке. Если она на отрезке постоянно больше нуля, то можно смело судить о монотонном возрастании функции в этом диапазоне, и наоборот. Отрицательные значения первой производной характеризуют функцию как монотонно убывающую.

С помощью вычисленной производной определяем участки графика, именуемые выпуклостями, а также вогнутостями функции. Доказано, что если в ходе расчётов получили производную функции непрерывную и отрицательную, то это свидетельствует о выпуклости, непрерывность второй производной и её положительное значение свидетельствует о вогнутости графика.

Нахождение момента, когда происходит смена знака у второй производной или участков, где она не существует, свидетельствует об определении точки перегиба. Именно она является граничной на интервалах выпуклости и вогнутости.

Полное исследование функции не заканчивается на вышеуказанных моментах, но использование дифференциального исчисления значительно упрощает это процесс. При этом результаты анализа имеют максимальную степень достоверности, что позволяет строить график, полностью соответствующий свойствам исследуемых функций.