Исследование функции для начинающих

Функцией с некоторой областью обозначения называется соответствие, при котором каждому числу x с определенного множества ставится в соответствие некоторое полностью определенное число y.

Видео: Исследования функций. Пример

Обычно функции обозначают латинскими буквами. Рассмотрим любой пример f. Число y, которое отвечает числу x, называют значением данной f в конкретной точке x. Представляют так: f(x). Область определения функции f - это D(f). Область, которая состоит из всех значений функции f(x), где аргумент x принадлежит области определения, называют областью значений f. Ее записывают так: E(f).

Чаще всего функцию задают при помощи формул. При этом, если не определены дополнительные ограничения, областью обозначения функции, которая задана формулой, будет считаться множество всех значений переменной, и такая формула имеет место быть.

Объединением двух множеств называется такое множество, каждый элемент которого может принадлежать и принадлежит хотя бы одному из данных множеств.

Для обозначения чисел с области обозначения функции x выбирают некоторую букву, которая называется независимой переменной или же аргументом.

Часто рассматриваются такие области, в которых область значений и область обозначений не являются числовыми множествами.

Когда проводится исследование функции, примеры можно рассматривать при помощи графика. Графиком функции называют множество точек на координатной плоскости, где аргумент "пробегает" всю область обозначения. Для того чтобы подмножество координатной плоскости было графиком некоторой функции, необходимо, чтобы такое подмножество имело хотя бы одну общую точку с любой прямой, которая параллельна оси абсцисс.

Видео: Исследовать функцию на монотонность. (Пример от bezbotvy)

Функцию называют растущей на множестве, если высшему значению аргумента с такого множества отвечает высшее значение функции, а нисходящей на множестве - если высшему значению аргумента отвечает низшее значение функции.

В процессе исследования функции на нарастание и на нисхождение нужно обозначить промежутки роста и спада максимальной длины.

Функция называется парной, если для любого аргумента с его областью обозначения будет f(-x)=f(x), или же непарной - если для любого аргумента с областью обозначения будет f(-x)=-f(x). К тому же, график парной функции будет симметричным относительно оси ординат, а график непарной - симметричным относительно точки (0-0).

Для того чтоб избежать ошибок, когда проводится исследование функции, необходимо научиться находить характерные особенности. Для этого нужно проделать такие шаги:

Видео: Исследование функции и построение графика

1. Найти область обозначения.

2. Провести проверку на парность либо же непарность, а так же периодичность.

3. Необходимо найти точки перекрещения графика функции с ординатой и абсциссой.

4. На этом этапе нужно найти промежутки, где функция имеет положительные значения, а где - отрицательные. Такие промежутки называют промежутками с постоянными знаками. То есть, нужно установить, где лежит график – выше либо же ниже оси абсцисс.

Видео: Исследование функции. Асимптоты графика от bezbotvy

5. Существенно облегчат задачу построения графика сведения о том, на каких промежутках функция растет, а на каких падает. Такие промежутки называют промежутками роста и промежутками нисхождения.

6. Теперь нужно найти те значения функции в точках, где рост сменяется нисхождением, либо же наоборот.

Такое исследование функции дает возможность построить график. Кроме того, необходимо найти точки экстремума. Что это такое?

Точка будет точкой минимума, если для всех значений аргумента с некоторого диапазона точки справедливым будет неравенство f(x)>f(x0).

Точка является точкой максимума, если для всех значений аргумента с некоторого диапазона точки справедливым будет неравенство f(x)