Как выводится производная косинуса

Видео: Вывод производной sin x, cos x, степенной функции (x^n).

Производная косинуса находится по аналогии с производной синуса, основа доказательства определение предела функции. Можно воспользоваться другим способом, используя тригонометрические формулы приведения для косинуса и синуса углов. Выразить одну функцию через другую - косинус через синус, и продифференцировать синус со сложным аргументом.

Видео: Лекция 3: Понятие обратной функции. Производная обратной функции.

Рассмотрим первый пример вывода формулы (Cos(х))`

Видео: Производные 2.5 (Новая HD версия)

Даем ничтожно малое приращение &Delta-х аргументу х функции у = Cos(х). При новом значении аргумента х+&Delta-х получаем новое значение функции Cos(х+&Delta-х). Тогда приращение функции &Delta-у будет равно Cos(х+&Delta-x)-Cos(x).
Отношение же приращения функции к &Delta-х будет таким: (Cos(х+&Delta-x)-Cos(x))/&Delta-х. Проведем тождественные преобразования в числителе получившейся дроби. Вспомним формулу разности косинусов углов, результатом будет произведение -2Sin(&Delta-х/2) умножить на Sin(х+&Delta-х/2). Находим предел частного lim этого произведения на &Delta-х при &Delta-х, стремящемся к нулю. Известно, что первый (его называют замечательным) предел lim(Sin(&Delta-х/2)/(&Delta-х/2)) равен 1, а предел -Sin(х+&Delta-х/2) равен -Sin(x) при &Delta-x, стремящемся к нулю.
Запишем результат: производная (Cos(х))` равна - Sin(х).

Некоторым больше нравится второй способ вывода той же формулы

Из курса тригонометрии известно: Cos(х) равно Sin(0,5·-&prod--х), аналогично Sin(х) равно Cos(0,5·-&prod--x). Тогда дифференцируем сложную функцию - синус дополнительного угла (вместо косинуса икс).
Получим произведение Cos(0,5·-&prod--х)·-(0,5·-&prod--х)`, потому что производная синуса х равна косинусу х. Обращаемся ко второй формуле Sin(х) = Cos(0,5·-&prod--x) замены косинуса на синус, учитываем, что (0,5·-&prod--х)` = -1. Теперь получаем -Sin(x).
Итак, найдена производная косинуса, у` = -Sin(х) для функции у = Cos(х).

Производная косинуса в квадрате

Часто используемый пример, где употребляется производная косинуса. Функция y = Cos²(x) сложная. Находим сначала дифференциал степенной функции с показателем 2, это будет 2·-Cos(x), затем умножаем его на производную (Cos(x))`, которая равна -Sin(х). Получаем y` = -2·-Cos(х)·-Sin(x). Когда применим формулу Sin(2·-х), синуса двойного угла, получим окончательный упрощенный
ответ y` = -Sin(2·-х)

Гиперболические функции

Применяются при изучении многих технических дисциплин: в математике, например, облегчают вычисления интегралов, решение дифференциальных уравнений. Выражаются они через тригонометрические функции с мнимым аргументом, так, гиперболический косинус ch(х) = Cos(i·-х), где i мнимая единица, гиперболический синус sh(x) = Sin(i·-x).
Производная гиперболического косинуса вычисляется достаточно просто.
Рассмотрим функцию у = (e^x+e^-x)/2, это и есть гиперболический косинус ch(х). Используем правило нахождения производной суммы двух выражений, правило выноса постоянного множителя (Const) за знак производной. Второе слагаемое 0,5·-е^-х сложная функция (ее производная равна -0,5·-е^-х), 0,5·-е^х первое слагаемое. (ch(х)) `=((e<sup>х</sup>+e<sup>-x</sup>)/2)` можно записать по другому: (0,5·-e^х+0,5·-е^-х)` = 0,5·-e<sup>х</sup>-0,5·-e<sup>-х</sup>, потому что производная (e<sup>-x</sup>)` равна -1, умнноженная на e^-x. Получилась разность, а это есть гиперболический синус sh(x).
Вывод: (ch(х))` = sh(x).
Рассмитрим на примере, как вычислить производную функции у = ch(x<sup>3</sup>+1).
По правилу дифференцирования гиперболического косинуса со сложным аргументом у` = sh(x³+1)·-(x³+1)`, где (x<sup>3</sup>+1)` = 3·-x²+0.
Ответ: производная данной функции равна 3·-х²·-sh(х³+1).

Производные рассмотренных функций у = ch(х) и y = Cos(х) табличные

При решении примеров нет необходимости каждый раз дифференцировать их по предложенной схеме, достаточно использовать вывод.
Пример. Продифференцировать функцию у = Cos(x)+Cos²(-x)-Ch(5·-х).
Легко вычислить (воспользуемся табличными данными), у` = -Sin(x)+Sin(2·-х)-5·-Sh(5·-х).