Булева алгебра. Алгебра логики. Элементы математической логики

Видео: Лекция 1: Функции алгебры логики

В современном мире мы все чаще используем разнообразные машины и гаджеты. И не только тогда, когда необходимо применить буквально нечеловеческую силу: переместить груз, поднять его на высоту, вырыть длинную и глубокую траншею и т. д. Автомобили сегодня собирают роботы, еду готовят мультиварки, а элементарные арифметические расчеты производят калькуляторы. Все чаще мы слышим выражение «булева алгебра». Пожалуй, пришло время разобраться в роли человека в создании роботов и умении машин решать не только математические, но и логические задачи.

Логика

В переводе с греческого логика – это упорядоченная система мышления, которая создает взаимосвязи между заданными условиями и позволяет делать умозаключения, основываясь на предпосылках и предположениях. Довольно часто мы спрашиваем друг друга: «Логично?» Полученный ответ подтверждает наши предположения либо критикует ход мысли. Но процесс не останавливается: мы продолжаем рассуждать.

Порой количество условий (вводных) настолько велико, а взаимосвязи между ними столь запутанны и сложны, что человеческий мозг не в состоянии «переварить» все сразу. Может понадобиться не один месяц (неделя, год) для понимания происходящего. Но современная жизнь не дает нам таких временных интервалов на принятие решений. И мы прибегаем к помощи компьютеров. И вот тут-то и появляется алгебра логики, со своими законами и свойствами. Загрузив все исходные данные, мы позволяем компьютеру распознать все взаимосвязи, исключить противоречия и найти удовлетворительное решение.

Математика и логика

Известнейший Готфрид Вильгельм Лейбниц сформулировал понятие «математическая логика», задачи которой были доступны для понимания только узкому кругу ученых. Особого интереса это направление не вызывало, и до середины XIX века о математической логике знали немногие.

Большой интерес в научных сообществах вызвал спор, в котором англичанин Джордж Буль заявил о своем намерении создать раздел математики, не имеющий абсолютно никакого практического применения. Как мы помним из истории, в это время активно развивалось промышленное производство, разрабатывались всевозможные вспомогательные машины и станки, т. е. все научные открытия имели практическую направленность.

Забегая вперед, скажем, что булева алгебра – самая используемая в современном мире часть математики. Так что спор свой Буль проиграл.

Видео: Дискретная математика

Джордж Буль

Сама личность автора заслуживает отдельного внимания. Даже учитывая то, что в прошлом люди взрослели раньше нас, все равно нельзя не отметить, что в 16 лет Дж. Буль преподавал в деревенской школе, а к 20 годам открыл собственную школу в Линкольне. Математик отлично владел пятью иностранными языками, а в свободное время зачитывался работами Ньютона и Лагранжа. И все это - о сыне простого рабочего!

В 1839 году Буль впервые послал свои научные работы в Кембриджский математический журнал. Ученому исполнилось 24 года. Работы Буля настолько заинтересовали членов Королевского научного общества, что в 1844 году он получил медаль за вклад в развитие математического анализа. Еще несколько опубликованных работ, в которых были описаны элементы математической логики, позволили молодому математику занять пост профессора в колледже графства Корк. Напомним, что у самого Буля образования не было.

Идея

В принципе, булева алгебра очень проста. Существуют высказывания (логические выражения), которые, с точки зрения математики, можно определить только двумя словами: «истина» или «ложь». Например, весной деревья расцветают – истина, летом идет снег – ложь. Вся прелесть этой математики заключается в том, что нет строгой необходимости использовать только числа. Для алгебры суждений вполне подходят любые высказывания с однозначным смыслом.

Видео: ЛОГИКА

Таким образом, алгебра логики может быть использована буквально везде: в составлении расписаний и написании инструкций, анализе противоречивой информации о событиях и определении последовательности действий. Самое главное - понять, что совершенно неважно, как мы определили истинность или ложность высказывания. От этих «как» и «почему» нужно абстрагироваться. Значение имеет только констатация факта: истина-ложь.

Безусловно, для программирования важны функции алгебры логики, которые записываются соответствующими знаками и символами. И выучить их – это значит освоить новый иностранный язык. Нет ничего невозможного.

Основные понятия и определения

Не вдаваясь в глубины, разберемся с терминологией. Итак, булева алгебра предполагает наличие:

Видео: Логические функции. Упрощение логических выражений

• высказываний;
• логических операций;
• функций и законов.

Высказывания – любые утвердительные выражения, которые не могут быть истолкованы двузначно. Они записываются в виде чисел (5 > 3) или формулируются привычными словами (слон – самое большое млекопитающее). При этом фраза «у жирафа нет шеи» также имеет право на существование, только булева алгебра определит её как «ложь».

Все высказывания должны носить однозначный характер, но они могут быть элементарными и составными. Последние используют логические связки. Т. е. в алгебре суждений составные высказывания образуются сложением элементарных посредством логических операций.

Операции булевой алгебры

Мы уже помним, что операции в алгебре суждений – логические. Подобно тому, как алгебра чисел использует арифметические операции для сложения, вычитания или сравнения чисел, элементы математической логики позволяют составить сложные высказывания, дать отрицание или вычислить конечный результат.

Логические операции для формализации и простоты записываются формулами, привычными для нас в арифметике. Свойства булевой алгебры дают возможность записывать уравнения и вычислять неизвестные. Логические операции обычно записывают с помощью таблицы истинности. Её столбцы определяют элементы вычислений и операцию, которая над ними производится, а строки показывают результат вычислений.

Основные логические действия

Самыми распространенными в булевой алгебре операциями являются отрицание (НЕ) и логические И и ИЛИ. Так можно описать практически все действия в алгебре суждений. Изучим подробнее каждую из трех операций.

Отрицание (не) применяется только к одному элементу (операнду). Поэтому операцию отрицания называют унарной. Для записи понятия «не А» используют такие символы: ¬-A, A¯-¯-¯- или !A. В табличной форме это выглядит так:

Для функции отрицания характерно такое утверждение: если А истинно, то A – ложно. Например, Луна вращается вокруг Земли – истина- Земля вращается вокруг Луны – ложь.

Логические умножение и сложение

Логическое И называют операцией конъюнкции. Что это значит? Во-первых, что применить ее можно к двум операндам, т. е. И – бинарная операция. Во-вторых, что только в случае истинности обоих операндов (и А, и Б) истинно и само выражение. Пословица «Терпение и труд все перетрут» предполагает, что только оба фактора помогут человеку справиться со сложностями.

Для записи используются символы: A&and-Б, A&sdot-Б или A&&Б.

Конъюнкция аналогична умножению в арифметике. Иногда так и говорят – логическое умножение. Если перемножить элементы таблицы по строкам, мы получим результат, аналогичный логическому размышлению.

Дизъюнкцией называют операцию логического ИЛИ. Она принимает значение истинности тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно (или А, или Б). Записывается это так: A&or-Б, A+Б или A||Б. Таблицы истинности для этих операций такие:

Дизъюнкция подобна арифметическому сложению. Операция логического сложения имеет только одно ограничение: 1+1=1. Но мы же помним, что в цифровом формате математическая логика ограничена 0 и 1 (где 1 – истина, 0 - ложь). Например, утверждение «в музее можно увидеть шедевр или встретить интересного собеседника» означает, что можно посмотреть произведения искусства, а можно познакомиться с интересным человеком. В то же время, не исключен вариант одновременного свершения обоих событий.

Функции и законы

Итак, мы уже знаем, какие логические операции использует булева алгебра. Функции описывают все свойства элементов математической логики и позволяют упрощать сложные составные условия задач. Самым понятным и простым кажется свойство отказа от производных операций. Под производными понимаются исключающее ИЛИ, импликация и эквивалентность. Поскольку мы ознакомились только с основными операциями, то и свойства рассмотрим тоже только их.

Ассоциативность означает, что в высказываниях типа «и А, и Б, и В» последовательность перечисления операндов не играет роли. Формулой это запишется так:

(A&and-Б)&and-В=A&and-(Б&and-В)=A&and-Б&and-В,

(A&or-Б)&or-В=A&or-(Б&or-В)=A&or-Б&or-В.

Как видим, это свойственно не только конъюнкции, но и дизъюнкции.

Видео: Видеокурс Элементы математической логики

Коммутативность утверждает, что результат конъюнкции или дизъюнкции не зависит от того, какой элемент рассматривался вначале:

A&and-Б=Б&and-A- A&or-Б=Б&or-A.

Дистрибутивность позволяет раскрывать скобки в сложных логических выражениях. Правила схожи с раскрытием скобок при умножении и сложении в алгебре:

A&and-(Б&or-В)=A&and-Б&or-A&and-В- A&or-Б&and-В=(A&or-Б)&and-(A&or-В).

Свойства единицы и нуля, которые могут быть одним из операндов, также аналогичны алгебраическим умножению на ноль или единицу и сложению с единицей:

A&and-0=0,A&and-1=A- A&or-0=A,A&or-1=1.

Идемпотентность говорит нам о том, что если относительно двух равных операндов результат операции оказывается аналогичным, то можно «выбросить» лишние усложняющие ход рассуждений операнды. И конъюнкция, и дизъюнкция являются идемпотентными операциями.

Б&and-Б=Б- Б&or-Б=Б.

Поглощение также позволяет нам упрощать уравнения. Поглощение утверждает, что когда к выражению с одним операндом применяется другая операция с этим же элементом, результатом оказывается операнд из поглощающей операции.

A&and-Б&or-Б=Б- (A&or-Б)&and-Б=Б.

Последовательность операций

Последовательность операций имеет немаловажное значение. Собственно, как и для алгебры, существует приоритетность функций, которые использует булева алгебра. Формулы могут упрощаться только при условии соблюдения значимости операций. Ранжируя от самых значимых до незначительных, получим такую последовательность:

1. Отрицание.

2. Конъюнкция.

3. Дизъюнкция, исключающее ИЛИ.

4. Импликация, эквивалентность.

Как видим, только отрицание и конъюнкция не имеют равных приоритетов. А приоритет дизъюнкции и исключающего ИЛИ равны, также как и приоритеты импликации и эквивалентности.

Функции импликации и эквивалентности

Как мы уже говорили, помимо основных логических операций математическая логика и теория алгоритмов использует производные. Чаще всего применяются импликация и эквивалентность.

Импликация, или логическое следование – это высказывание, в котором одно действие является условием, а другое – следствием его выполнения. Иными словами, это предложение с предлогами «если... то». «Любишь кататься, люби и саночки возить». Т. е. для катания необходимо затянуть санки на горку. Если же нет желания съехать с горы, то и санки таскать не приходится. Записывается это так: A Б или A&rArr-Б.

Эквивалентность предполагает, что результирующее действие наступает только в том случае, когда истиной являются оба операнда. Например, ночь сменяется днем тогда (и только тогда), когда солнце встает из-за горизонта. На языке математической логики это утверждение записывается так: A&equiv-Б, A&hArr-Б, A==Б.

Другие законы булевой алгебры

Алгебра суждений развивается, и многие заинтересовавшиеся ученые сформулировали новые законы. Наиболее известными считаются постулаты шотландского математика О. де Моргана. Он заметил и дал определение таким свойствам, как тесное отрицание, дополнение и двойное отрицание.

Тесное отрицание предполагает, что перед скобкой нет ни одного отрицания: не (А или Б)= не А или НЕ Б.

Когда операнд отрицается, независимо от своего значения, говорят о дополнении:

Б&and-¬-Б=0- Б&or-¬-Б=1.

И, наконец, двойное отрицание само себя компенсирует. Т.е. перед операндом либо исчезает отрицание, либо остается только одно.

Как решать тесты

Математическая логика подразумевает упрощение заданных уравнений. Так же, как и в алгебре, необходимо сначала максимально облегчить условие (избавиться от сложных вводных и операций с ними), а затем приступить к поиску верного ответа.

Что же сделать для упрощения? Преобразовать все производные операции в простые. Затем раскрыть все скобки (или наоборот, вынести за скобки, чтобы сократить этот элемент). Следующим действием должно стать применение свойств булевой алгебры на практике (поглощение, свойства нуля и единицы и т. д).

В конечном итоге уравнение должно состоять из минимального количества неизвестных, объединенных простыми операциями. Легче всего искать решение, если добиться большого количества тесных отрицаний. Тогда ответ всплывет как бы сам собой.