Метод математической индукции

Метод математической индукции может приравниваться к прогрессу. Так, начиная с низшего уровня, исследователи с помощью логического мышления переходят к высшему. Любой уважающий себя человек постоянно стремится к прогрессу и умению логически мыслить. Именно поэтому природой создано индуктивное мышление.

Термин «индукция» в переводе на русский язык означает наведение, поэтому индуктивными принято считать выводы по результатам определенных опытов и наблюдений, которые получены путем формирования от частного к общему.

Примером может быть созерцание восхода солнца. Пронаблюдав данное явление в течение нескольких дней подряд, можно сказать, что с востока солнце взойдет и завтра, и послезавтра и т.д.

Индуктивные выводы достаточно широко применялись и применяются в экспериментальных науках. Так, с помощью них можно сформулировать положения, на основании которых уже с помощью дедуктивных методов могут быть сделаны дальнейшие умозаключения. С определенной уверенностью можно утверждать, что «три кита» теоретической механики – законы движения Ньютона – сами являются результатом проведения частных опытов с подведением общего итога. А закон Кеплера о движении планет был выведен им на основании многолетних наблюдений Т. Браге, датского астронома. Именно в приведенных случаях индукция сыграла свою положительную роль для уточнения и обобщения сделанных предположений.

Несмотря на расширение области своего применения метод математической индукции, к сожалению, занимает мало времени в школьной программе. Однако в современном мире именно с детских лет необходимо приучать подрастающее поколение мыслить индуктивно, а не просто решать задачи по определенному шаблону или заданной формуле.

Видео: Метод математической индукции

Метод математической индукции может быть широко применен в алгебре, арифметике и геометрии. В этих разделах необходимо проводить доказательство истинности некоторого множества чисел, зависящего от натуральных переменных.

Принцип математической индукции основывается на доказательстве истинности предложения A(n) для любых значений переменной и состоит из двух этапов:

1. Истинность предложения A(n) доказано при n = 1.

2. В случае, когда предложение A(n) сохраняет истинность для n = k (k – натуральное число), оно будет истинным для следующего значения n = k + 1.

Данный принцип и формулирует метод мат. индукции. Зачастую он принимается как аксиома, определяющая ряд чисел, и применяется без доказательств.

Существуют моменты, когда метод математической индукции в некоторых случаях подлежит доказательству. Так, в случае, когда требуется доказать истинность предлагаемого множества A(n) для всех натуральных чисел n, необходимо:

- проверить на истинность высказывание A(1)-

- доказать истинность высказывания A(k+1) при принятии во внимание истинность A(k).

Видео: Метод математической индукции

В случае удачного доказательства справедливости данного предложения для любого натурального числа k признается истинным предложение A(n) для всех значений n, в соответствии с указанным принципом.

Приведенный метод математической индукции достаточно широко используется в доказательствах тождеств, теорем, неравенств. Также может применяться в решении задач геометрического характера и на делимость.

Однако не следует думать, что на этом и заканчивается использование метода индукции в математике. Например, не обязательно экспериментально проверять все теоремы, которые логически выведены из аксиом. Но при этом из этих аксиом есть возможность формулирования большого количества утверждений. И именно выбор утверждений и подсказывается использованием индукции. С помощью этого метода можно разделить все теоремы на необходимые для науки и практики и не очень.