Комплексные числа. Значение и эволюция «мнимых величин»

Числа – основные математические объекты, необходимые для различных вычислений и расчетов. Совокупность натуральных, целых, рациональных и иррациональных цифровых значений образует множество так называемых действительных чисел. Но существует еще и достаточно необычная категория – комплексные числа, определенные Рене Декартом как «мнимые величины». А один из ведущих математиков восемнадцатого века Леонард Эйлер предложил обозначать их литерой i от французского слова imaginare (мнимый). Что же такое комплексные числа?

Так называются выражения вида a + bi, в котором a и b являются действительными числами, а i представляет собой цифровой показатель особого значения, квадрат которого равняется –1. Операции над комплексными числами осуществляются по тем же правилам, что и различные математические действия над многочленами. Данная математическая категория не выражает результаты каких-либо измерений или вычислений. Для этого вполне достаточно действительных чисел. Для чего же тогда они вообще нужны?

Видео: HOW YOU CAN CONFUSE YOUR MATH TEACHER

Комплексные числа, как математическое понятие, необходимы из-за того, что некоторые уравнения с действительными коэффициентами не имеют решения в области «обычных» чисел. Следовательно, для расширения сферы решения неравенств возникла необходимость введения новой математической категории. Комплексные числа, имеющее главным образом абстрактное теоретическое значение, позволяют решать такие уравнения, как х² +1 = 0. Следует заметить, что, несмотря на всю свою кажущуюся формальность, эта категория чисел достаточно активно и широко используется, например, для решения различных практических задач теории упругости, электротехники, аэро- и гидромеханики, атомной физики и прочих научных дисциплин.

Модуль и аргумент комплексного числа применяются при построении графиков. Такую форму записи называют тригонометрической. Кроме того, геометрическая интерпретация данных чисел еще больше расширила сферу их применения. Стало возможным использовать их для различных картографических вычислений.

Математика прошла долгий путь от простейших натуральных чисел до сложных комплексных систем и их функций. На эту тему можно написать отдельный учебник. Здесь мы рассмотрим лишь некоторые эволюционные моменты теории чисел, чтобы стали понятны все исторические и научные предпосылки появления данной математической категории.

Видео: Зачем нужна математика

Древнегреческими математиками считались «настоящими» исключительно натуральные числа, которые можно использовать для подсчета чего-либо. Уже во втором тысячелетии до н. э. древними египтянами и вавилонянами в разнообразных практических расчетах активно применялись дроби. Следующей важной вехой развития математики стало появление отрицательных чисел в Древнем Китае за двести лет до нашей эры. Они также применялись древнегреческим математиком Диофантом, которому были известны правила простейших операций над ними. При помощи отрицательных чисел стало возможным описывать различные изменения величин не только в положительной плоскости.

Видео: Лекция 3. Типы чисел (часть 2).

В седьмом веке нашей эры было точно установлено, что квадратные корни положительных чисел всегда имеют два значения – кроме положительного, еще и отрицательное. Из последнего извлечь квадратный корень обычными алгебраическими методами того времени считалось невозможным: не существует такого значения х, чтобы х² = 9. Долгое время это не имело особого значения. И только в шестнадцатом веке, когда появились и стали активно изучаться кубические уравнения, возникла необходимость извлечения квадратного корня из отрицательных чисел, поскольку в формуле для решения данных выражений содержатся не только кубические, но еще и квадратные корни.

Такая формула безотказна, если уравнение имеет не больше одного действительного корня. В случае же наличия в уравнении трех действительных корней при их излечении получалось число с отрицательным значением. Вот и выходило, что путь к извлечению трех корней пролегает через невозможную с позиций математики того времени операцию.

Для объяснения получившегося парадокса итальянским алгебраистом Дж. Кардано было предложено ввести новую категорию чисел необычной природы, которые получили название комплексных. Интересно то, что сам Кардано считал их бесполезными и всячески стремился избежать применения им же предложенной математической категории. Но уже в 1572 году появилась книга другого итальянского алгебраиста Бомбелли, где были подробно изложены правила операций над комплексными числами.

В течение всего семнадцатого века продолжалось обсуждение математической природы данных чисел и возможностей их геометрического толкования. Также постепенно развивалась и совершенствовалась техника работы с ними. И на рубеже 17-го и 18-го веков была создана общая теория комплексных чисел. Огромнейший вклад в развитие и совершенствование теории функций комплексных переменных был внесен русскими и советскими учеными. Н. И. Мусхелишвили занимался ее приложением к проблемам теории упругости, Келдыш и Лаврентьев нашли применение комплексным числам в области гидро- и аэродинамики, а Владимиров и Боголюбов – в квантовой теории поля.