Сущность и виды средних величин в статистике и способы их вычисления. Виды средних величин в статистике кратко: примеры, таблица

Видео: Статистика с лёгкостью: Средняя арифметическая простая и взвешенная

Начиная изучение такой науки, как статистика, следует понимать, что она содержит (как и любая наука) много терминов, которые необходимо знать и понимать. Сегодня мы разберём такое понятие, как средняя величина, и выясним, на какие виды она делится, как их вычислять. Ну а перед тем как начать, поговорим немного об истории, и о том, как и зачем возникла такая наука, как статистика.

История

Само слово "статистика" ведёт своё происхождение из латинского языка. Это производное от слова "статус", и означает "положение вещей" или "ситуация". Это короткое определение и отражает, по сути, весь смысл и назначение статистики. Она собирает данные о положении вещей и позволяет анализировать любые ситуации. Работой со статистическими данными занимались ещё в Древнем Риме. Там проводился учёт свободных граждан, их владений и собственности. Вообще изначально статистика использовалась для получения данных о количестве населения и их благах. Так, в Англии в 1061 году была проведена первая в мире перепись населения. Ханы, царствовавшие на Руси в 13 веке, тоже проводили переписи, чтобы брать дань с захваченных земель.

Каждый использовал статистику для своих целей, и в большинстве случаев это приносило ожидаемый результат. Когда люди осознали, что это не просто математика, а отдельная наука, которую нужно изучать основательно, начали появляться первые учёные, заинтересованные в её развитии. Люди, которые впервые заинтересовались этой областью и начали активно её постигать, были приверженцами двух основных школ: английской научной школы политических арифметиков и немецкой описательной школы. Первая возникла в середине 17-го века и ставила целью представить общественные явления, используя числовые показатели. Они стремились выявить закономерности в общественных явлениях на основе изучения статистических данных. Сторонники описательной школы также описывали социально-общественные процессы, но с использованием только слов. Они не могли представить динамику событий, чтобы лучше понять её.

В первой половине 19 века возникло ещё одно, третье направление этой науки: статистико-математическое. Огромный вклад в развитие этого направления внёс известный учёный, статистик из Бельгии Адольф Кетле. Именно он выделил виды средних величин в статистике, и по его инициативе начали проводиться международные конгрессы, посвящённые этой науке. С начала 20 века в статистике начали применяться более сложные математические методы, например, теория вероятностей.

Сегодня статистическая наука развивается благодаря компьютеризации. С помощью различных программ каждый может построить график на основе предложенных данных. В интернете также есть масса ресурсов, предоставляющих любые статистические данные о населении и не только.

В следующем разделе мы разберём, что означают такие понятия, как статистика, виды средних величин и вероятности. Далее коснёмся вопроса о том, как и где мы можем использовать полученные знания.

Что такое статистика?

Это наука, основной целью которой является обработка информации для изучения закономерностей процессов, происходящих в обществе. Таким образом, можно сформулировать вывод о том, что статистика изучает общество и те явления, что протекают в нём.

Различают несколько дисциплин статистической науки:

1) Общая теория статистики. Разрабатывает методы сбора статистических данных и является основой всех остальных областей.

2) Социально-экономическая статистика. Она изучает макроэкономические явления с точки зрения предыдущей дисциплины и количественно характеризует общественные процессы.

3) Математическая статистика. Не всё в этом мире можно исследовать. Что-то приходится предугадывать. Математическая статистика изучает случайные величины и законы распределения вероятности в статистике.

4) Отраслевая и международная статистка. Это узкие области, которые изучают количественную сторону явлений, происходящих в определённых странах или отраслях жизни общества.

А сейчас мы рассмотрим виды средних величин в статистике, кратко расскажем об их применении в других, не столь тривиальных областях, как статистика.

Виды средних величин в статистике

Вот мы и подошли к самому главному, собственно, к теме статьи. Конечно, для освоения материала и усвоения таких понятий, как сущность и виды средних величин в статистике необходимы определённые знания математики. Для начала вспомним, что такое среднее арифметическое, гармоническое, геометрическое и квадратичное.

Видео: Статистический ряд распределения. Понятия и определения

Среднее арифметическое мы проходили ещё в школе. Оно вычисляется очень просто: мы берём несколько чисел, среднее между которыми необходимо найти. Складываем эти числа и делим сумму на их количество. Математически это можно изобразить следующим образом. У нас есть ряд чисел, как пример, самый простой ряд: 1,2,3,4. Всего у нас 4 числа. Их среднее арифметическое находим таким образом: (1+2+3+4)/4 = 2,5. Всё просто. Мы начинаем с этого, потому что так легче понять виды средних величин в статистике.

Кратко расскажем также и о среднем геометрическом. Возьмём такой же ряд чисел, как и в предыдущем примере. Но теперь, чтобы вычислить среднее геометрическое, нам нужно извлечь корень степени, которая равна количеству этих чисел, из их произведения. Таким образом, для предыдущего примера получим: (1*2*3*4)^1/4~2,21.

Повторим понятие среднего гармонического. Как можно вспомнить из школьного курса математики, чтобы посчитать этот вид среднего, нам необходимо сначала найти числа, обратные числам ряда. То есть мы делим единицу на это число. Так получаем обратные числа. Отношение их количества к сумме и будет средним гармоническим. Возьмём для примера тот же ряд: 1, 2, 3, 4. Обратный ряд будет выглядеть так: 1, 1/2, 1/3, 1/4. Тогда среднее гармоническое можно посчитать так: 4/(1+1/2+1/3+1/4) ~ 1,92.

Все эти виды средних величин в статистике, примеры которых мы рассмотрели, являются частью группы под названием степенные. Также существуют структурные средние, которые мы разберём позже. Сейчас остановимся на первом виде.

Степенные средние величины

Мы уже разобрали арифметическое, геометрическое и гармоническое. Есть также более сложный вид, называемый средним квадратичным. Хоть его и не проходят в школе, вычислить его достаточно просто. Необходимо лишь сложить квадраты чисел ряда, разделить сумму на их количество, и извлечь из всего этого квадратный корень. Для нашего излюбленного ряда это будет выглядеть так: ((1²+2²+3²+4²)/4)^1/2= (30/4)^1/2 ~ 2,74.

На самом деле это всё только частные случаи среднего степенного. В общем виде это можно описать так: степенное n-ного порядка равно корню степени n из суммы чисел в n-ной степени, делённой на количество этих чисел. Пока всё не так сложно, как кажется.

Однако даже степенное среднее является частным случаем одного вида - среднего Колмогорова. По сути, все способы, которыми мы находили разные усреднённые величины до этого, можно представить в виде одной формулы: y^-1*((y(x₁)+y(x₂)+y(x₃)+...+y(x_n))/n). Здесь все переменные x - это числа ряда, а y(x) - некая функция, по которой мы считаем среднее значение. В случае, скажем, со средним квадратичным, это функция y=x², а со средним арифметическим y=x. Вот какие сюрпризы нам иногда преподносит статистика. Виды средних величин мы разобрали ещё не до конца. Помимо средних существуют ещё и структурные. Поговорим о них.

Структурные средние величины статистики. Мода

Тут всё немного сложнее. Чтобы разобрать эти виды средних величин в статистике и способы их вычисления, нужно основательно подумать. Существует две основных структурных средних: мода и медиана. Разберёмся с первым.

Мода встречается наиболее часто.Она применяется чаще всего для определения спроса на ту или иную вещь. Чтобы найти её значение, нужно сначала найти модальный интервал. Что это такое? Модальный интервал - область значений, где какой-либо показатель имеет наибольшую частоту. Необходима наглядность, чтобы лучше представить моду и виды средних величин в статистике. Таблица, которую мы рассмотрим ниже, представляет собой часть задачи, условие которой такое:

Определите моду по данным рабочих цеха о дневной выработке.

В нашем случае модальный интервал - это отрезок показателя дневной выработки с наибольшей численностью человек, то есть 40-44. Его нижняя граница - 44.

А теперь обсудим, как же вычислить эту самую моду. Формула не очень сложная и записать её можно так: M= x₁+ n*(f_M-f_M-1)/((f_M-f_M-1)+(f_M-f_M+1)). Здесь f_M - частота модального интервала, f_M-1 - частота интервала перед модальным (в нашем случае это 36-40), f_M+1 - частота интервала после модального (для нас - 44-48), n - величина интервала (то есть разность между нижней и верхней границей)? x₁ - значение нижней границы (в примере это 40). Зная все эти данные, мы можем смело вычислить моду на количество дневной выработки: M=40 +4*(24-20)/((24-20)+(24-19)) = 40 + 16/9 = 41,(7).

Структурные средние величины статистика. Медиана

Разберём ещё такой вид структурных величин, как медиана. Подробно на нём мы не будем останавливаться, расскажем лишь о различиях с предыдущим типом. В геометрии медиана делит угол пополам. Не зря в статистике этот вид средней величины так назвали. Если ранжировать ряд (к примеру, по численности населения того или иного веса в порядке возрастания численности), то медианой будет такое значение, которое делит этот ряд на две части, равные по численности.

Другие виды средних величин в статистике

Структурные типы вкупе со степенными дают далеко не всё, что требуется для расчётов в различных областях. Выделяют и другие типы этих данных. Таким образом, бывают средние взвешенные. Этот тип применяется тогда, когда числа в ряде имеют разный "вещественный вес". Это можно объяснить на простом примере. Возьмём автомобиль. Он движется с разной скоростью в разные промежутки времени. При этом друг от друга отличаются и значения этих временных отрезков, и значения скоростей. Так вот, эти промежутки и будут являться вещественными весами. Взвешенными можно сделать любой вид степенных средних.

В теплотехнике также применяется ещё один вид средних величин - среднее логарифмическое. Оно выражается достаточно сложной формулой, приводить которую мы не будем.

Где это применяется?

Статистика - наука, не привязанная к какой-либо одной сфере. Хоть и создана она была как часть социально-экономической сферы, но сегодня её методы и законы применяются в физике, химии, и биологии. Обладая знаниями в этой области, мы может легко определять тренды общества и вовремя предотвращать угрозы. Часто мы слышим фразы "угрожающая статистика", и это не пустые слова. Эта наука рассказывает нам о нас самих, и при должном её изучении способна предупредить о том, что может произойти.

Как связаны виды средних величин в статистике?

Соотношения между ними не всегда существуют, вот, например, структурные виды между собой не связаны никакими формулами. Но со степенными всё гораздо интереснее. Например, существует такое свойство: среднее арифметическое двух чисел всегда больше или равно их среднему геометрическому. Математически можно записать так: (a+b)/2 >= (a*b)^1/2. Доказывается неравенство переносом правой части влево и дальнейшей группировкой. В итоге получаем разность корней, возведённую в квадрат. А так как любое число в квадрате положительное, соответственно, неравенство становится верным.

Помимо этого есть более общее соотношение величин. Выясняется, что среднее гармоническое всегда меньше среднего геометрического, которое меньше среднего арифметического. А последнее оказывается, в свою очередь, меньше среднего квадратичного. Можете самостоятельно проверить правильность этих соотношений хотя бы на примере двух чисел - 10 и 6.

Что в этом интересного?

Интересно то, что виды средних величин в статистике, которые, казалось бы, показывают просто какой-то средний уровень, на самом деле могут сказать знающему человеку гораздо больше. Когда мы смотрим новости, никто и не задумывается над смыслом этих цифр и тем, как вообще их находить.

Что можно ещё почитать?

Для дальнейшего освоения темы мы рекомендуем прочитать (или прослушать) курс лекций по статистике и высшей математике. Ведь в этой статье мы рассказали лишь о крупинке того, что содержит в себе эта наука, и сама по себе она интереснее, чем кажется на первый взгляд.

Как эти знания мне помогут?

Возможно, они и пригодятся вам в жизни. Но если вам интересна сущность общественных явлений, их механизм и влияние на вашу жизнь, то статистика поможет вам глубже разобраться в этих вопросах. Вообще, она может описать практически любую сторону нашей жизни, если в её распоряжении имеются соответствующие данные. Ну а то, откуда и как добывается информация для анализа - тема отдельной статьи.

Заключение

Теперь мы знаем, что бывают разные виды средних величин в статистике: степенные и структурные. Разобрались в способах их вычисления и в том, где и как это можно применить.