Теория чисел: теория и практика

Существует несколько определений понятия «теория чисел». Одно из них гласит, что это специальный раздел математики (или высшей арифметики), которая подробно изучает целые числа и объекты, сходные с ними.

Другое определение уточняет, что этот раздел математики изучает свойства чисел и их поведение в различных ситуациях.

Некоторые ученые считают, что теория настолько обширна, что дать ее точное определение невозможно, а достаточно лишь разделить на несколько менее объемных теорий.

Видео: Математика. Подготовка к ЕГЭ. Урок 27. Теория чисел

Установить достоверно, когда зародилась теория чисел, не представляется возможным. Однако точно установлено: на сегодня древнейшим, но не единственным документом, свидетельствующим об интересе древних к теории чисел, является небольшой обломок глиняной таблички 1800 годов до нашей эры. В нем - целый ряд так называемых Пифагоровых троек (натуральных чисел), многие из которых состоят из пяти знаков. Огромное количество таких троек исключает их механический подбор. Это свидетельствует о том, что интерес к теории чисел возник, видимо, намного раньше, чем изначально предполагали ученые.

Самыми заметными лицами в разработке теории считаются пифагорейцы Евклид и Диофант, жившие в Средние века индийцы Ариабхата, Брахмагупта и Бхаскары, а еще позже - Ферма, Эйлер, Лагранж.

В начале ХХ века теория чисел привлекла внимание таких математических гениев, как А. Н. Коркин, Е. И. Золотарёв, А. А. Марков, Б. Н. Делоне, Д. К. Фаддеев, И. М. Виноградов, Г.Вейль, А. Сельберг.

Разрабатывая и углубляя выкладки и исследования древних математиков, они вывели теорию на новый, значительно более высокий уровень, охватывающий множество областей. Глубокие исследования и поиски новых доказательств привели и к открытию новых проблем, некоторые из которых не изучены до сих пор. Открытыми остаются: гипотеза Артина о бесконечности множества простых чисел, вопрос о бесконечности количества простых чисел, множество других теорий.

На сегодня основными составляющими, на которые делится теория чисел, являются теории: элементарная, больших чисел, случайных чисел, аналитическая, алгебраическая.

Элементарная теория чисел занимается изучением целых чисел, не привлекая методы и понятия из других разделов математики. Числа Фибоначчи, малая теорема Ферма, - вот самые распространенные, известные даже школьникам понятия из этой теории.

Видео: Science show. Выпуск 1. Теория чисел и нумерология

Теория больших чисел (или Закон больших чисел) - подраздел теории вероятностей, стремящийся доказать, что среднее арифметическое (по другому - среднее эмпирическое) большой выборки приближается к математическому ожиданию (которое еще называют теоретическим средним) этой выборки при условии фиксированного распределения.

Теория случайных чисел, разделяя все события на неопределенные, детерминированные и случайные, пытается определить по вероятности простых событий вероятность сложных. В этот раздел входят свойства условных вероятностей и теорема их умножения, Теорема гипотез (которую часто называют формулой Байеса) и пр.

Аналитическая теория чисел, как это понятно из ее названия, для изучения математических величин и числовых свойств применяет методы и приемы математического анализа. Одно из главных направлений этой теории - доказательство теоремы (при помощи комплексного анализа) о распределении простых чисел.

Алгебраическая теория чисел работает непосредственно с числами, их аналогами (например, алгебраическими числами), изучает теорию дивизоров, когомологии групп, функции Дирихле и т.п.

К появлению и развитию этой теории привели многовековые попытки доказать теорему Ферма.

До ХХ века теория чисел считалась отвлеченной наукой, "чистым искусством от математики", не имеющим абсолютно никакого практического или утилитарного применения. Сегодня ее выкладки используют в криптографических протоколах, при расчете траекторий спутников и космических зондов, в программировании. Экономика, финансы, информатика, геология - все эти науки сегодня невозможны без теории чисел.