Системы исчисления. Таблица систем исчисления. Системы исчисления: информатика

Люди не сразу научились считать. Первобытное общество ориентировалось на незначительное число предметов - один или два. Все, что было больше, по умолчанию наименовалось "много". Именно это считается началом современной системы исчисления.

Краткая историческая справка

В процессе развития цивилизации у людей стала появляться необходимость разделять небольшие совокупности предметов, объединенные общими признаками. Стали возникать соответствующие понятия: "три", "четыре" и так далее до "семи". Однако это был закрытый, ограниченный ряд, последнее понятие в котором продолжало нести смысловую нагрузку более раннего "много". Ярким примером этого является народный фольклор, дошедший до нас в первозданном виде (например, пословица "Семь раз отмерь – один раз отрежь").

Возникновение сложных способов счета

С течением времени жизнь и все процессы деятельности людей усложнялись. Это привело, в свою очередь, к возникновению более сложной системы исчисления. При этом люди использовали для наглядности выражения простейшие инструменты счета. Находили они их вокруг себя: они чертили палочки на стенах пещеры подручными средствами, делали зарубки, выкладывали интересующие их числа из палок и камней – вот лишь небольшой список существовавшего тогда многообразия. В дальнейшем современными учеными данному виду было присвоено уникальное название "унарная система исчисления". Ее суть состоит в записи числа с применением единственного вида знаков. Сегодня это наиболее удобная система, позволяющая визуально сопоставлять количество предметов и знаков. Наибольшее распространение она получила в начальных классах школ (счетные палочки). Наследством "камешкового счета" можно смело считать современные аппараты в их различных модификациях. Интересно и возникновение современного слова "калькуляция", корни которого идут от латинского calculus, что переводится не иначе как "камешек".

Счет на пальцах

В условиях крайне скудного словарного запаса первобытного человека жесты довольно часто служили важным дополнением к передаваемой информации. Преимущество пальцев было в их универсальности и в постоянном нахождении с объектом, который хотел передать информацию. Однако здесь есть и существенные недостатки: значительная ограниченность и кратковременность передачи. Поэтому весь счет людей, пользовавшихся "пальцевым способом", ограничивался цифрами, кратными количеству пальцев: 5 - соответствует количеству пальцев на одной руке- 10 – на обеих руках- 20 – общее количество на руках и ногах. Благодаря сравнительно медленному развитию числового запаса данная система просуществовала достаточно долгий временной промежуток.

Первые усовершенствования

С развитием системы исчисления и расширением возможностей и потребностей человечества максимальным используемым числом в культурах многих народов стало 40. Под ним также понималось неопределенное (не поддающееся счету) количество. На Руси широкое распространение получило выражение "сорок сороков". Его смысл сводился к количеству предметов, которое невозможно посчитать. Следующая ступень развития - это появление числа 100. Далее началось деление на десятки. Впоследствии стали появляться числа 1000, 10 000 и так далее, каждое из которых несло смысловую нагрузку, аналогичную семи и сорока. В современном мире границы конечного счета не определены. На сегодняшний день введено универсальное понятие "бесконечность".

Целые и дробные числа

Современные системы исчисления за наименьшее количество предметов принимают единицу. В большинстве случаев она является неделимой величиной. Однако при более точных измерениях она также подвергается дроблению. Именно с этим связано появившееся на определенном этапе развития понятие дробного числа. Например, вавилонская система денег (весов) составляла 60 мин, что равнялось 1 талану. В свою очередь 1 мина приравнивалась к 60 шекелям. Именно на основе этого вавилонская математика широко применяла шестидесятеричное дробление. Широко используемые в России дроби пришли к нам от древних греков и индийцев. При этом сами записи идентичны индийским. Незначительное отличие составляет отсутствие у последних дробной черты. Греки сверху прописывали числитель, а снизу знаменатель. Индийский вариант написания дробей получил широкое развитие в Азии и Европе благодаря двум ученым: Мухаммеду Хорезмскому и Леонардо Фибоначчи. Римская система исчисления приравнивала 12 единиц, называемых унциями, к целому (1 асс), соответственно, в основе всех вычислений лежали двенадцатиричные дроби. Вместе с общепринятыми довольно часто применялись и специальные деления. Так, например, астрономами до XVII века применялись так называемые шестидесятиричные дроби, которые были впоследствии вытеснены десятичными (ввел в обиход Симон Стевин - ученый-инженер). В результате дальнейшего прогресса человечества возникла необходимость в еще более значительном расширении числового ряда. Так появились отрицательные, иррациональные и комплексные числа. Знакомый всем ноль появился относительно недавно. Он начал применяться при введении в современные системы исчисления отрицательных чисел.

Использование непозиционного алфавита

Что представляет собой такой алфавит? Для данной системы исчисления характерно, что значение цифр не меняется от их расстановки. Непозиционному алфавиту свойственно наличие неограниченного количества элементов. В основе систем, строящихся на базе данного вида алфавита, лежит принцип аддитивности. Другими словами, общее значение числа состоит из суммы всех цифр, которые включает запись. Возникновение непозиционных систем произошло раньше позиционных. В зависимости от способа счета общее значение числа определяется как разность или сумма всех цифр, входящих в состав числа.

Существуют недостатки таких систем. Среди основных следует выделять:

• введение новых цифр при формировании большого числа;
• невозможность отразить отрицательные и дробные числа;
• сложность выполнения арифметических действий.

В истории человечества применялись различные системы исчисления. Наиболее известными считаются: греческая, римская, алфавитная, унарная, древнеегипетская, вавилонская.

Один из наиболее распространенных способов счета

Римская нумерация, сохранившаяся до наших дней практически в неизменном виде, является одной из самых известных. При помощи нее обозначаются различные даты, юбилейные в том числе. Также она нашла широкое применение в литературе, науке и других областях жизни. В римской системе исчисления используются всего семь букв латинского алфавита, каждая из которых соответствует определенному числу: I = 1- V = 5- X = 10- L = 50- С = 100- D = 500- M = 1000.

Возникновение

Само происхождение римских цифр непонятно, история не сохранила точных данных их появления. При этом несомненным является факт: значительное влияние на римскую нумерацию оказала пятеричная система исчисления чисел. Однако в латинском языке отсутствуют упоминания о ней. На этом основании возникла гипотеза о заимствовании древними римлянами своей системы у другого народа (предположительно, у этрусков).

Видео: Таблица триад и тетрад. Системы счисления.

Особенности

Запись всех целых чисел (до 5000) производится при помощи повторения описанных выше цифр. Ключевой особенностью является расположение знаков:

Видео: Сложение,вычитание, умножение и деление в двоичной системе счисления.

• сложение происходит при том условии, что большее стоит перед меньшим (XI = 11);
• вычитание происходит, если меньшая цифра стоит перед большей (IX = 9);
• один и тот же знак не может стоять подряд более трех раз (например, 90 записывается ХС вместо LXXXX).

Недостатком ее является неудобство выполнения арифметических действий. При этом она просуществовала довольно долго и перестала использоваться в Европе в качестве основной системы исчисления сравнительно недавно – в 16-м веке.

Римская система исчисления не считается абсолютно непозиционной. Связано это с тем, что в ряде случаев происходит вычитание меньшей цифры из большей (например, IX = 9).

Способ счета в Древнем Египте

Третье тысячелетие до нашей эры считается моментом возникновения системы исчисления в Древнем Египте. Суть ее состояла в записи специальными знаками цифр 1, 10, 102, 104, 105, 106, 107. Все остальные числа записывались в виде комбинации данных исходных знаков. При этом существовало ограничение – каждая цифра должна была повторяться не более девяти раз. В основе этого способа счета, который современные ученые называют "непозиционная десятичная система исчисления", лежит простой принцип. Смысл его состоит в том, что написанное число равнялось сумме всех цифр, из которых оно состояло.

Унарный способ счета

Система исчисления, в которой при записи чисел использован один знак - I - называется унарной. Каждое последующее число получается в результате прибавления новой I к предыдущему. При этом количество таких I равно значению записанного при помощи них числа.

Видео: Информатика. Системы счисления: Позиционные системы счисления. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»

Восьмеричная система исчисления

Это позиционный способ счета, в основании которого лежит число 8. Для отображения чисел используется цифровой ряд от 0 до 7. Широкое применение данная система получила в производстве и использовании цифровых устройств. Основным ее преимуществом является легкий перевод чисел. Их можно преобразовать в двоичную систему и обратно. Данные манипуляции осуществляются благодаря замене чисел. Из восьмиричной системы они переводятся в двоичные триплеты (например, 28 = 0102, 68 = 1102). Данный способ счета был распространен в области компьютерного производства и программирования.

Шестнадцатиричная система исчисления

В последнее время в компьютерной сфере данный способ счета используется достаточно активно. В корне данной системы лежит основание - 16. Система исчисления, базирующаяся на нем, предполагает использование цифр от 0 до 9 и ряда букв латинского алфавита (от А до F), которые применяются для обозначения интервала от 1010 до 1510. Данный способ счета, как уже было отмечено, используется при производстве программного обеспечения и документации, связанной с компьютерами и их составляющими. Основано это на свойствах современного компьютера, основной единицей которого является 8-битная память. Ее удобно преобразовывать и записывать при помощи двух шестнадцатиричных цифр. Основоположником такого процесса явилась система IBM/360. Документация для нее была впервые переведена этим способом. Стандарт Юникода предусматривает запись любого символа в шестнадцатиричном виде с использованием не менее 4 цифр.

Способы записи

Математическое оформление способа счета основывается на указании его в нижнем индексе в десятичной системе. Пример, число 1444 записывается в виде 144410. Языки программирования для записи шестнадцатиричных систем имеют разные синтаксисы:

• в Си и Java языках используют префикс "0x";
• в Ада и VHDL применяется следующий стандарт - "1516#5A3#";
• ассемблеры предполагают использование буквы "h", которая ставится после числа ("6А2h") или префикса "$", что характерно для AT&T, Motorola, языка Паскаль ("$6В2");
• также встречаются записи типа "#6A2", сочетания "&h", которое ставится перед числом ("&h5A3") и другие.

Заключение

Как изучаются системы исчисления? Информатика – основная дисциплина, в рамках которой осуществляется накопление данных, процесс их оформления в удобный для потребления вид. С применением особых инструментов происходит оформление и перевод всей доступной информации в язык программирования. Он в дальнейшем используется при создании программного обеспечения и компьютерной документации. Изучая различные системы исчисления, информатика предполагает использование, как уже сказано было выше, разных инструментов. Многие из них способствуют осуществлению быстрого перевода чисел. Одним из таких "инструментов" является таблица систем исчисления. Пользоваться ею достаточно удобно. При помощи данных таблиц можно, например, быстро перевести число из шестнадцатиричной системы в двоичную, не обладая при этом специальными научными знаниями. Сегодня возможность осуществлять цифровые преобразования есть практически у каждого заинтересованного в этом человека, поскольку необходимые инструменты предлагаются пользователям на открытых ресурсах. Кроме того, существуют и программы онлайн-перевода. Это существенно упрощает задачу по преобразованию чисел и сокращает время операций.