Дифференциальные уравнения - общая информация и сфера применения

Видео: Примеры и применения метрических пространств // Ященко И. В.

Изучая явления природы, решая всевозможные задачи по экономике, биологии, физике, технике, не всегда есть возможность непосредственно установить прямую связь между некими значениями, которые описывают тот или иной эволюционный процесс. Как правило, можно определить связь между этими величинами (функциями) и скоростью их изменения по отношению к другим (независимым) переменным. При этом возникают уравнения, в которых неизвестные функции стоят под знаком производной - это дифференциальные уравнения. На их исследование потратили немало времени множество известных ученых: Ньютон, Бернулли, Лаплас и другие. Применение дифференциальных уравнений довольно широко: в моделях экономической динамики, где отображаются не только зависимость переменных во времени, но и их взаимосвязь со временем, в задачах микро- и макроэкономики- с их помощью описывают распространение электромагнитных и тепловых волн и разные эволюционные явления, которые происходят в живой и неживой природе.

Видео: Лекция 1: Опыт практического использования моделей хозяйственной деятельности

При помощи электромагнитных волн передается информация на расстоянии (телевидение, телефон, радио и тому подобное). Современная макроэкономика широко использует дифференциальные и разностные уравнения. Например, в макроэкономике используется так называемое основное ДУ неоклассической теории экономического роста. Дифференциальные уравнения также применяются в биологии, химии, автоматике и других специальных дисциплинах. На рисунке показан график функции, которая применяется при рассмотрении повышения роста населения. Эту задачу решают с помощью ДУ.

Итак, теперь побольше теории. Обычным дифференциальным уравнением называют нетождественные соотношение между искомой функцией Y с одним независимым аргументом Х, самой независимой переменной Х и производными искомой функции некоторого порядка. Существует множество видов дифференциальных уравнений, подробнее о которых далее в статье.

Видео: Обзор УМК по информатике

Дифференциальные уравнения бывают:

1) Обычные уравнения І-го порядка, которые интегрируются в квадратах. Эти, в свою очередь, делятся на: дифференциальные уравнения с отделяемыми переменными- ДУ с отделенными переменными- однородные ДУ- линейные ДУ- уравнения в полных дифференциалах.

2) ДУ высших порядков.

3) Линейные ДУ ІІ-го порядка, которые бывают линейными однородными ДУ ІІ-го порядка с постоянными коэффициентами и линейными неоднородными ДУ с постоянными коэффициентами.

Видео: Введение в матрицы

Решаются ДУ также несколькими способами, наиболее распространенные из которых - задача Коши, методы Эйлера и Бернулли и прочие.

Во многих задачах экономики, математики, техники необходимо высчитать некое количество функций, связанных меж собой некоторым количеством ДУ. Тогда нам на помощь приходят системы дифференциальных уравнений: совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимая переменная, функции этой независимой и их производные.

Если система линейна относительно неизвестных функций, то она называется линейной системой дифференциальных уравнений. Нормальную систему дифференциальных уравнений можно заменить одним ДУ, порядок которого равен количеству уравнений системы.

Преобразование системы ДУ к одному уравнению в некоторых случаях совершается при помощи метода исключения.

Помимо всего вышеперечисленного, существуют и линейные системы с неизменными коэффициентами, которые легко решаются по методу Эйлера.