Этапы моделирования в математике, экономике и информатике

В масштабном варианте модель представляет собой некий образ, схему, карту, описание, изображение определенного явления либо процесса. Само явление именуют оригиналом математической либо экономической модели.

Что такое моделирование?

Моделирование является исследованием некоего объекта, системы. Для его осуществления строится и анализируется модель.

Все этапы моделирования предполагают научный эксперимент, объектом которого является абстрактная либо предметная модель. При проведении эксперимента конкретное явление подменяют схемой либо упрощенной моделью (копией). В некоторых случаях собирают действующую модель, чтобы на ее примере понять механизм работы, проанализировать экономическую целесообразность внедрения результатов опыта в рыночную экономику. Одно и то же явление может быть рассмотрено разными моделями.

Исследователь должен выбрать нужные этапы моделирования, оптимально их использовать. Применение моделей актуально в тех случаях, когда реальный объект не доступен, либо эксперименты с ним связаны с серьезными экологическими проблемами. Действующая модель применяется и в тех ситуациях, когда реальный эксперимент предполагает существенные материальные затраты.

Особенности математического моделирования

В науке незаменимы математические модели, а также инструменты для них – математические понятия. На протяжении нескольких тысячелетий они накапливались, модернизировались. В современной математике существуют универсальные и мощные способы исследования. Любые объекты, рассматриваемые «царицей наук», представляют собой математическую модель. Для детального анализа выбранного объекта подбираются этапы математического моделирования. С их помощью выделяют детали, особенности, характерные черты, систематизируют полученную информацию, делают полноценное описание объекта.

Математическая формализация предполагает оперирование во время исследования специальными понятиями: матрицей, функцией, производной, первообразной, числами. Те отношения и связи, которые удается найти в изучаемом объекте между составными элементами и деталями, записывают математическими отношениями: уравнениями, неравенствами, равенствами. В итоге получают математическое описание явления либо процесса, а следовательно, его математическую модель.

Правила изучения математической модели

Существует определенный порядок этапов моделирования, который позволяет установить связи между следствиями и причинами. Центральным этапом проектирования либо исследования системы является построение полноценной математической модели. Именно от качества выполненных действий напрямую зависит дальнейший анализ данного объекта. Построение математической либо экономической модели не является формальной процедурой. Она должна быть удобной для применения, точной, чтобы не было искажений в результатах анализа.

О классификации математических моделей

Выделяют две разновидности: детерминированные и стохастические модели. Детерминированные модели предполагают установление взаимно-однозначного соответствия между переменными, используемыми для описания явления либо объекта.

Подобный подход базируется на информации о принципе действия объекта. Во многих случаях моделируемое явление имеет сложную структуру, для расшифровки ее требуется много времени и знаний. В подобных ситуациях подбирают такие этапы моделирования, которые позволят провести на оригинале эксперименты, выполнить обработку полученных результатов, не вдаваясь в теоретические особенности объекта. Чаще всего пользуются статистикой и теорией вероятности. В результате получают стохастическую модель. В ней между переменными существует случайная связь. Огромное количество разных факторов вызывает случайный набор переменных, с помощью которых характеризуется явление либо объект.

Современные этапы моделирования применяют к статическим и динамическим моделям. В статических видах описание связей между переменными создаваемого явления не предполагает учета изменения во времени основных параметров. Для динамических моделей описание связей между переменными осуществляется с учетом временных изменений.

Разновидности моделей:

• непрерывные;
• дискретные;
• смешанные

Разные этапы математического моделирования позволяют описывать в линейных моделях отношения и функции, используя прямую связь переменных величин.

Какие требования предъявляются к моделям?

• Универсальность. Модель должна быть полным отображением всех свойств, присущих реальному объекту.
• Адекватность. Важные характеристики объекта не должны превышать заданную величину погрешности.
• Точность. Характеризует степень совпадений характеристик существующего в реальности объекта с аналогичными параметрами, полученными при изучении модели.
• Экономичность. Модель должна быть минимальной по материальным затратам.

Видео: Дискретная математика

Этапы моделирования

Рассмотрим основные этапы математического моделирования.

Видео: Математическое моделирование экономических процессов

• Выбор задачи. Выбирается цель исследования, подбираются способы ее реализации, вырабатывается стратегия эксперимента. Данный этап предполагает серьезную работу. Именно от правильности поставленной задачи зависит конечный результат моделирования.

• Анализ теоретических основ, суммирование информации, полученной об объекте. Подобный этап подразумевает подбор либо создание теории. При отсутствии теоретических знаний об объекте устанавливают причинно-следственные связи между всеми переменными, выбранными для описания явления либо объекта. На данном этапе определяют начальные и конечные данные, выдвигают гипотезу.
• Формализация. Осуществляется выбор системы специальных обозначений, которые помогут записывать в форме математических выражений отношения между компонентами рассматриваемого объекта.

Дополнения к алгоритму

После установки параметров модели выбирают определенный способ либо метод решения.

• Реализация созданной модели. После того как будут выбраны этапы моделирования систем, создается программа, которая проходит тестирование и применяется для решения поставленной задачи.
• Анализ собранной информации. Проводится аналогия между поставленной задачей и полученным решением, определяется погрешность моделирования.
• Проверка соответствия модели реальному объекту. Если между ними будет существенное отличие, разрабатывается новая модель. До тех пор, пока не будет получено идеальное соответствие модели ее реальному аналогу, проводится уточнение, изменение деталей.

Характеристика моделирования

В середины прошлого века в жизни современного человека появилась вычислительная техника, возросла актуальность математических методов исследования объектов и явлений. Появились такие разделы, как «математическая химия», «математическая лингвистика», «математическая экономика», занимающиеся изучением явлений, объектов, были созданы основные этапы моделирования.

Основной их целью было предсказание планируемых наблюдений, исследование определенных объектов. Кроме того, с помощью моделирования можно познавать окружающий мир, искать способы управления им. Проведение компьютерного эксперимента предполагается в тех случаях, когда провести настоящий не получается. После построения математической модели изучаемого явления путем компьютерной графики можно изучать ядерные взрывы, эпидемии чумы и т. д.

Специалисты выделяют три этапа математического моделирования, и у каждого есть свои особенности:

• Построение модели. Данный этап предполагает задание экономического плана, явления природы, конструкции, производственного процесса. Четко описать ситуацию в данном случае сложно. Для начала нужно выявить специфику явления, определить взаимосвязь между ним и другими объектами. Потом все качественные характеристики переводятся на математический язык, выстраивается математическая модель. Данный этап является самым трудным во всем процессе моделирования.
• Этап решения математической задачи, связанный с разработкой алгоритмов, способов решения задачи на вычислительной технике, выявление погрешности измерений.
• Перевод информации, полученной в ходе исследований, в язык той области, для которой проводился эксперимент.

Видео: Основные этапы моделирования

Эти три этапа математического моделирования дополняются проверкой адекватности полученной модели. Выполняется проверка соответствия между результатами, полученными в эксперименте, с теоретическими знаниями. При необходимости проводят модификацию созданной модели. Ее усложняют либо упрощают, в зависимости от полученных результатов.

Особенности экономического моделирования

3 этапа математического моделирования предполагают использование алгебраических, дифференциальных систем уравнений. Сложные объекты выстраивают с помощью теории графов. Она предполагает множество точек в пространстве либо на плоскости, частично соединённых ребрами. Основные этапы экономического моделирования подразумевают выбор ресурсов, их распределение, учет транспортных перевозок, сетевое планирование. Какое действие не является этапом моделирования? Сложно ответить на данный вопрос однозначно, все зависит от конкретной ситуации. Основные этапы процесса моделирования предполагают формулировку цели и предмета исследования, выделение основных характеристик для достижения цели, описание взаимосвязи между фрагментами модели. Далее выполняют расчеты, пользуясь математическими формулами.

К примеру, теория обслуживания является проблемой формирования очередей. Важно найти равновесие между затратами на содержание устройств и расходы на нахождение в очереди. После построения формального описания модели осуществляют расчеты, применяя вычислительные и аналитические технологии. При качественном составлении модели можно найти ответы на все вопросы. Если модель плохая, невозможно понять, какое действие не является этапом моделирования.

Практичность является подлинным критерием для оценки адекватности явления либо модели. Многокритериальные модели, включая оптимизационные варианты, предполагают постановку цели. А вот способ достижения этой цели отличается. Среди сложностей, которые возможны в процессе, следует выделить:

• в сложной системе между элементами существует несколько связей;
• трудно учесть все случайные факторы, анализируя реальную систему;
• проблематично сопоставлять математический аппарат с теми результатами, которые вы хотите получить

Из-за множества сложностей, которые появляются в процессе изучения многогранных систем, было разработано имитационное моделирование. Под ним понимают комплект специальных программ для вычислительной техники, который описывает работу отдельных элементов системы и взаимосвязи между ними. Применение случайных величин предполагает многократное повторение экспериментов, статистическую обработку результатов. Работа с имитационной системой является экспериментом, который осуществляется с помощью вычислительной техники. Каковы преимущества данной системы? Подобным образом можно добиться большей близости к подлинной системе, что невозможно в случае математической модели. С помощью блочного принципа можно анализировать отдельные блоки до того, как они будут включены в единую систему. Подобный вариант позволяет использовать сложные зависимости, которые нельзя описать с помощью обычных математических соотношений.

Среди минусов построения имитационной системы, выделим затраты по времени и ресурсам, а также необходимость применения современной компьютерной техники.

Этапы развития моделирования сопоставимы с изменениями, происходящими в обществе. По области использования все модели подразделяют на обучающие программы, тренажеры, учебно-наглядные пособия. Опытные модели могут быть уменьшенными копиями реальных объектов (автомобилей). Научно-технические варианты представляют собой стенды, создаваемые для анализа электронной аппаратуры. Имитационные модели не только отражают настоящую реальность, они предполагают апробацию на лабораторных мышах, экспериментах в системе образования. Имитация рассматривается как метод ошибок и проб.

Существует подразделение всех моделей по варианту представления. Материальные модели называют предметными. Подобные варианты наделены геометрическими и физическими характеристиками самого оригинала, их можно воплотить в реальность. Информационные модели невозможно потрогать руками. Они характеризуют состояние и свойства изучаемого объекта, явления, процесса, и связь их с реальным миром. Вербальные варианты предполагают информационные модели, реализуемые в разговорном либо мысленном виде. Знаковые виды выражают путем применения определенных знаков многогранного математического языка.

Заключение

Математическое моделирование в виде метода научного познания появилось одновременно с основами высшей математики. Важную роль в подобном процессе сыграли И. Ньютон, Р. Декарт, Г. Лейбниц. Математические модели были впервые выстроены П. Ферма, Б. Паскалем. Математическому моделированию в производстве, экономике уделяли внимание В. В. Леонтьев, В. В. Новожилов, А. Л. Лурье. В наши дни подобный вариант изучения объекта либо явления применяется в различных сферах деятельности. С помощью проектируемых систем инженеры исследуют такие явления и процессы, которые нельзя проанализировать в реальных условиях.

Видео: Магистерская программа "Прикладная информатика в экономике"

Научные исследования путем моделирования применяли в глубокой древности, захватывая со временем разнообразные виды научных знаний: архитектуру, конструирование, химию, строительство, физику, биологию, экологию, географию, а также общественные науки. В любом процессе моделирования применяют три компонента: субъект, объект, модель. Безусловно, моделированием изучение объекта либо явления не ограничивается, есть и другие способы получения необходимой информации.