Определение, график и свойства функции: структура курса математического анализа в школе

Впервые с понятием функции учащиеся образовательных школ обычно встречаются в 7 классе, когда приступают к изучению курса алгебры как отдельного направления математики. Начинается изучение функций, как правило, без ввода сложных определений и терминов, что вполне логично. Самое главное на ознакомительном этапе – предоставить ученикам возможность общего ознакомления на элементарных примерах с новым и не встречавшимся им ранее математическим объектом.

Начинается изучение функций с линейных зависимостей, графиком которых является прямая линия. Учащиеся изучают математическую запись зависимости одной переменной от другой и разбираются, какая переменная в функции является независимой, а какая – зависимой. Параллельно с этим ученики приступают к построениям графиков на координатной плоскости, на которой ранее они отмечали только точки.

Следующая функция, с которой знакомятся учащиеся, – прямая пропорциональность. Изначально в курсе алгебры авторы многих пособий выделяют эту зависимость обособленно от линейной функции, отмечая некоторые важные свойства функции, которые присущи данной зависимости.

Видео: Функция. Область определения и область значений функции

После рассмотрения элементарных функций учащихся знакомят с обобщенными понятиями, которые характеризуют числовые зависимости. В первую очередь, это работа с записью y = f(x). Далее несколько уроков обязательно посвящается практическому применению полученных теоретических знаний, в рамках которых рассматривается прикладной характер определения и какого-либо отдельного свойства функции, характеризующей тот или иной процесс.

В 8 классе учащиеся впервые сталкиваются с квадратными уравнениями. После освоения навыков решения уравнений данного типа программой предусмотрено изучение квадратичной функции и ее основных характеристик. Ученики учатся не только строить график зависимости по представленному уравнению, но и анализировать представленное изображение, выявляя основные свойства функции и формируя ее математическое описание.

Видео: Асимптоты графика дробно-рациональной функции

Курс алгебры 9 класса расширяет множество известных учащимся функций. Обладая достаточно значительной теоретической базой, посвященной математическому анализу, ученики знакомятся с обратной пропорциональностью и дробно-линейной функцией, а также изучают отличия представления на графической плоскости уравнения и функции. В последнем случае акцентируется внимание на том, что график уравнения может иметь для одного аргумента – независимой переменной – несколько значений зависимой переменной. Функциональная же зависимость характеризуется однозначным соответствием независимой и зависимой переменных.

В старшем звене школы ученики изучают сложные функциональные зависимости и учатся строить графики, опираясь не на таблицу значений «аргумент – функция», а на свойства функции. Связано это с тем, что поведение сложных функций достаточно сложно предсказать «навскидку», а просчитывать определенный набор значений бывает достаточно затруднительно. Поэтому для определения характера поведения функции описывают ее основные характеристики: области определения и значения, асимптоты, монотонность, точки максимума и минимума, выпуклости и т. д. Особое внимание стоит обратить на такое свойство, как четность. Четная и нечетная функция имеют особый характер поведения: первая характеристика означает, что график функции симметричен относительно оси ординат, вторая – относительно точки начала координат.

На этом заканчивается изучение основ математического анализа в курсе средней школы. Дальнейшее изучение числовых зависимостей будет обязательно представлено в курсе высшей математики, а также в рамках дисциплин, посвященных статистической обработки данных. Последние часто используют такой элемент, как функции распределения.