Как найти вершину параболы и построить ее

В математике есть целый цикл тождеств, среди которых значимое место занимают квадратичные уравнения. Подобные равенства могут решаться как отдельно, так и для построения графиков на оси координат. Корни квадратных уравнений являются точками пересечения параболы и прямой ох.

Общий вид

Квадратное уравнение в общем виде имеет следующую структуру:

ax² +bx+c=0

В роли "икса" могут рассматриваться как отдельные переменные, так и целые выражения. Например:

Видео: КАК НАЙТИ ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫ

2x²+5x-4=0-

(x+7)²+3(x+7)+2=0.

В том случае, когда в роли х выступает выражение, необходимо представить его как переменную и найти корни уравнения. После этого к ним приравнять многочлен и найти х.

Так, если (х+7)=а, то уравнение принимает вид а²+3а+2=0.

Д=3²-4*1*2=1-

а₁=(-3-1)/2*1=-2-

а₂=(-3+1)/2*1=-1.

При корнях, равных -2 и -1, получим следующее:

x+7=-2 и x+7=-1-

x=-9 и x=-8.

Корни являются значением х-координаты точки пересечения параболы с осью абсцисс. В принципе, их значение не так уж и важно, если поставлена задача лишь найти вершину параболы. Но для построения графика корни играют важную роль.

Как найти вершину параболы

Вернемся к начальному уравнению. Для ответа на вопрос о том, как найти вершину параболы, необходимо знать следующую формулу:

x_вп=-b/2a,

Видео: КР_5. Найти вершину параболы и нули функции_1-й способ

где х_вп- это значение х-координаты искомой точки.

Но как найти вершину параболы без значения у-координаты? Подставляем полученное значение х в уравнение и находим искомую переменную. Например, решим следующее уравнение:

х²+3х-5=0

Находим значение х-координаты для вершины параболы:

Видео: Как находить вершину параболы

х_вп=-b/2a=-3/2*1-

х_вп=-1,5.

Видео: Квадратичные функции 3

Находим значение у-координаты для вершины параболы:

у=2х²+4х-3=(-1,5)²+3*(-1,5)-5-

у=-7,25.

В результате получаем, что вершина параболы находится в точке с координатами (-1,5--7,25).

Построение параболы

Парабола представляет собой соединение точек, имеющее вертикальную ось симметрии. По этой причине само ее построение не представляет особого труда. Самое сложное – это произвести правильные расчеты координат точек.

Стоит обратить особое внимание на коэффициенты квадратного уравнения.

Коэффициент а влияет на направление параболы. В том случае, когда он имеет отрицательное значение, ветви будут направлены вниз, а при положительном знаке – вверх.

Коэффициент b показывает, насколько широк будет рукав параболы. Чем больше его значение, тем он будет шире.

Коэффициент с указывает на смещение параболы по оси ОУ относительно начала координат.

Как найти вершину параболы, мы уже узнали, а чтобы найти корни, следует руководствоваться следующими формулами:

Д=b²-4ac,

где Д – это дискриминант, который необходим для нахождения корней уравнения.

x₁=(-b+V^-Д)/2a

x₂=(-b-V^-Д)/2a

Полученные значения х будут соответствовать нулевым значениям у, т.к. они являются точками пересечения с осью ОХ.

После этого отмечаем на координатной плоскости вершину параболы и полученные значения. Для более детального графика необходимо найти еще несколько точек. Для этого выбираем любое значение х, допустимое областью определения, и подставляем его в уравнение функции. Результатом вычислений будет координата точки по оси ОУ.

Чтобы упростить процесс построения графика, можно провести вертикальную линию через вершину параболы и перпендикулярно оси ОХ. Это будет ось симметрии, при помощи которой, имея одну точку, можно обозначить и вторую, равноудаленную от проведенной линии.