Вектор. Сложение векторов

Видео: Сложение и вычитание векторов урок 50, геометрия 8 класс

Изучение математики приводит к постоянному обогащению и увеличению многообразия средств моделирования объектов и явлений окружающей среды. Так, расширение понятия числа позволяет представить количественную характеристику объектов окружающей среды, с помощью новых классов геометрических фигур получается описывать разнообразие их форм. Но развитие естественных наук и запросы самой математики требуют введения и изучения новых и новых средств моделирования. В частности, большое количество физических величин невозможно охарактеризовать только числами, потому что важно и направление их действия. А благодаря тому, что направленные отрезки характеризуют и направления, числовые значения, то на этой основе и получилось новое понятие математики – понятие вектора.

Выполнение основных математических действий над ними тоже определилось по физическим соображениям, и это в конце концов привело к основанию векторной алгебры, которая сейчас выполняет огромную роль при формировании физических теорий. Одновременно с этим, в математике, такой вид алгебры и ее обобщения стали очень удобным языком, а также средством получения и определения новых результатов.

Что же такое вектор?

Вектором называют совокупность всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и заданное направление. Каждый из отрезков этой совокупности называют изображением вектора.

Понятно, что вектор обозначается своим изображением. Все направленные отрезки, которые изображают вектор а, имеют одинаковую длину и направление, которые называются, соответственно, длиной (модулем, абсолютным значением) и направлением вектора. Его длина обозначается IaI. Два вектора называют равными, если у них одинаковое направление и одинаковая длина.

Видео: Геометрия 8 класс - Сложение и вычитание векторов

Направленный отрезок, началом которого является точка А, а концом – точка В, однозначно характеризуется упорядоченной парой точек (А- В). Рассмотрим также множество пар (А- А), (В- В)… . Это множество обозначает вектор, который называется нулевым и обозначается 0. Изображением нулевого вектора является любая точка. Модуль нулевого вектора считается равным нулю. Понятие направления нулевого вектора не определено.

Для любого ненулевого вектора определяют вектор, противоположный заданному, то есть такой, который имеет такую же длину, но противоположное направление. Векторы, имеющие одинаковое либо противоположные направления, называются коллинеарными.

Возможности применения векторов связаны с введением действий над векторами и созданием векторной алгебры, которая имеет много общих свойств с обычной «числовой» алгеброй (хотя, конечно, есть и существенные отличия).

Сложение двух векторов (неколлинеарных) выполняется по правилу треугольника (поместим начало вектора b в конец вектора a, тогда вектор a +b соединяет начало вектора a с концом вектора b) или параллелограмма (поместим начала векторов a и b в одну точку, тогда вектор a + b, имея начало в той же точке, является диагональю параллелограмма, который построен на векторах a и b). Сложение векторов (нескольких) можно выполнить, воспользовавшись правилом многоугольника. Если слагаемые коллинеарны, то соответствующие геометрические конструкции сокращаются.

Операции с векторами, которые заданы координатами, сводятся к операциям с числами: сложение векторов – сложение соответствующих координат, например, если а = (х1- у1), а b = (х2- у2), то a + b = ( x1 + x2- y1 + y2).

Правило сложения векторов обладает всеми алгебраическими свойствами, которые присущи сложению чисел:

1. От перестановки слагаемых сумма не меняется:
   a +b = b + a
   Сложение векторов с помощью этого свойства следует из правила параллелограмма. Действительно, какая разница, в каком порядке суммировать векторы a и b, если диагональ параллелограмма всё равно одна и та же?
2. Свойство ассоциативности:
   (a +b) + c = a + (b + c).
3. Прибавление к вектору нулевого вектора ничего не меняет:
   a +0 = a
   Это совершенно очевидно, если представить себе такое сложение с точки зрения правила треугольника.
4. У каждого вектора a есть противоположный вектор, обозначаемый - a- сложение векторов, положительных и отрицательных, будет равняться нулю: a + (- a) = 0.