Признаки подобия треугольников: понятия и область применения

Важным понятием в геометрии, как науке, является подобие фигур. Знание такого свойства позволяет решать огромное количество задач, в том числе и в реальной жизни.

Понятия

Подобными фигурами называются такие, которые могут быть переведены друг в друга путем умножения всех сторон на определенный коэффициент. При этом соответственные углы должны быть равны.

Рассмотрим более подробно признаки подобия треугольников. Всего существует три правила, которые позволяют утверждать, что такие фигуры обладают этим свойством.

Первый признак подобия треугольников требует, чтобы имело место равенство двух пар соответствующих углов.

Видео: Признаки равенства треугольников

Согласно второму правилу, рассматриваемые фигуры считаются подобными, когда две стороны одной пропорциональны соответствующим отрезкам другого. При этом углы, которые образованы ими, должны быть равны.

И, наконец, третий признак: треугольники подобны, если все их стороны соответственно пропорциональны.

Существуют такие фигуры, которые по некоторым свойствам могут быть отнесены к особым видам (равносторонние, равнобедренные, прямоугольные). Для утверждения, что такие треугольники подобны, необходимо выполнение меньшего количества условий. Мы для примера рассмотрим признаки подобия прямоугольных треугольников:

1. гипотенуза и один из катетов одного пропорциональны соответствующим сторонам другого;
2. любой острый угол одной фигуры равен такому же в другой.

Видео: Равенство треугольников

Если соблюдаются признаки подобия треугольников, имеют место следующие свойства:

1. отношение их линейных элементов (медиан, биссектрис, высот, периметров) равно коэффициенту подобия;
2. если найти результат деления площадей, получим квадрат этого числа.

Видео: Открытый урок "Второй и третий признаки равенства треугольника"

Применение

Рассмотренные свойства позволяют решать огромное количество геометрических задач. Широко используются они и в жизни. Зная признаки подобия треугольников, можно определить высоту какого-либо предмета или рассчитать расстояние до недоступной точки.

Чтобы узнать, например, высоту дерева, на заранее отмеренном расстоянии устанавливают строго вертикально шест, на котором закреплена вращающаяся планка. Ее ориентируют на вершину предмета и отмечают на земле точку, где линия, продолжающая ее, пересечет горизонтальную поверхность. Получаем подобные прямоугольные треугольники. Измерив расстояние от точки до шеста, а затем до предмета, находим коэффициент подобия. Зная высоту шеста, можно с легкостью вычислить этот же параметр для дерева.

Для нахождения расстояния между двумя точками на местности выберем на плоскости еще одну. Затем измерим расстояние от нее до доступной. Соединим все точки на местности и измерим углы, которые прилегают к известной стороне. Построив на бумаге подобный треугольник и определив отношение сторон двух фигур, с легкостью вычисляем расстояние между точками.

Таким образом, признаки подобия треугольников – одно из важнейших понятий геометрии. Оно широко используется не только в научных целях, но и для других нужд.