Метод Гаусса: примеры решений и частные случаи

Метод Гаусса, также называемый методом пошагового исключения неизвестных переменных, назван именем выдающегося немецкого ученого К.Ф. Гаусса, еще при жизни получившего неофициальный титул "короля математики". Однако данный метод был известен задолго до зарождения европейской цивилизации, еще в I в. до н. э. древние китайские ученые использовали его в своих трудах.

Метод Гаусса является классическим способом решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он идеален для быстрого решения ограниченных по размеру матриц.

Сам метод состоит из двух ходов: прямого и обратного. Прямым ходом называется последовательное приведение СЛАУ к треугольному виду, то есть обнуление значений, находящихся под главной диагональю. Обратный ход подразумевает последовательное нахождение значений переменных, выражая каждую переменную через предыдущую.

Научиться применять на практике метод Гаусса просто, достаточно знания элементарных правил умножения, сложения и вычитания чисел.

Для того чтобы наглядно показать алгоритм решения линейных систем данным методом, разберем один пример.

Итак, решить, используя метод Гаусса:

x+2y+4z=3
2x+6y+11z=6
4x-2y-2z=-6

Видео: Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Нам нужно во второй и третьей строчках избавиться от переменной х. Для этого мы прибавляем к ним первую, умноженную на -2 и -4 соответственно. Получим:

x+2y+4z=3
2y+3z=0
-10y-18z=-18

Теперь 2-ю строчку умножим на 5 и прибавим ее к 3-ей:

x+2y+4z=3
2y+3z=0
-3z=-18

Мы привели нашу систему к треугольному виду. Теперь осуществляем обратный ход. Начинаем с последней строчки:
-3z =-18,
z=6.

Вторая строчка:
2y+3z=0
2y+18=0
2y=-18,
y=-9

Первая строчка:
x+2y+4z=3
x-18+24=3
x=18-24+3
х= -3

Подставляя полученные значения переменных в исходные данные, убеждаемся в правильности решения.

Данный пример может решаться множеством любых других подстановок, но ответ должен получиться тот же самый.

Бывает так, что на ведущей первой строке расположены элементы со слишком малыми значениями. Это не страшно, но довольно усложняет вычисления. Решением данной проблемы является метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Суть его состоит в следующем: в первой строке отыскивается максимальный по модулю элемент, тот столбец, в котором он расположен, меняют местами с 1-м столбцом, то есть наш максимальный элемент становится первым элементом главной диагонали. Далее идет стандартный процесс вычисления. При необходимости процедуру перемены местами столбцов можно повторить.

Еще одним модифицированным методом Гаусса является метод Жордана-Гаусса.

Применяется при решении квадратных СЛАУ, при нахождении обратной матрицы и ранга матрицы (количества ненулевых строк).

Суть этого метода в том, что исходная система путем преобразований превращается в единичную матрицу с дальнейшим отысканием значений переменных.

Алгоритм его таков:

1. Система уравнений приводится, как и в методе Гаусса, к треугольному виду.

Видео: Решение линейных систем методом Гаусса. Тема

2. Каждая строчка делится на определенное число с таким расчетом, чтобы на главной диагонали получилась единица.

3. Последняя строчка умножается на какое-то число и вычитается из предпоследней с таким расчетом, чтобы не на главной диагонали получить 0.

Видео: Вырожденные и невырожденные однородные линейные системы. Тема

4. Операция 3 повторяется последовательно для всех строк, пока в конечном итоге не образуется единичная матрица.