Как произвести нахождение определителя матрицы?

Видео: 4. Что такое определитель матрицы? - bezbotvy

Нахождение определителя матрицы является важным действием не только для линейной алгебры: так, например, в экономике при помощи этого вычисления решаются системы линейных уравнений со многими неизвестными, широко применяемые в экономических задачах.

Понятие определителя

Определителем, или детерминантом, матрицы называют величину, равную объему параллелепипеда, построенного на ее векторах-строках либо столбцах. Вычислить эту величину можно только для квадратной матрицы, у которой количество строк и столбцов одинаково. Если члены матрицы – числа, то и детерминант будет числом.

Вычисление определителей

Следует помнить, что существует несколько правил, которые могут значительно облегчить подобные расчеты.

Так детерминант матрицы, состоящей из одного члена, равен единственному ее элементу. Вычислить определитель второго порядка нетрудно, для этого достаточно из произведения членов главной диагонали отнять произведение элементов, расположенных на побочной диагонали.

Вычисление определителя 3 порядка проще всего проводить по правилу треугольника. Для этого выполняем следующие действия:

Видео: Математика без Ху%!ни. Вычисление определителя методом треугольников.

1. Находим произведение трех членов матрицы, расположенных на ее главнойдиагонали.
2. Перемножаем по три члена, находящихся на треугольниках, основания которых параллельны главной диагонали.
3. Повторяем первое и второе действие для побочной диагонали.
4. Находим сумму всех получившихся в предыдущих расчетах значений, при этом числа, полученные в третьем пункте, берем со знаком минус.

Чтобы с легкостью провести нахождение определителя матрицы 4 порядка, а также более высоких размерностей, необходимо рассмотреть свойства, которыми обладают все детерминанты:

Видео: Вычисление определителя матрицы 3х3 (2 способ)

1. Значение определителя не меняется после транспонирования матрицы.
2. Перестановка местами двух соседних строк или столбцов ведет к изменению знака детерминанта.
3. Если в матрице имеется две равных строки либо столбца, или все элементы столбца (строки) нулевые, то ее определитель равен нулю.
4. Умножение чисел матрицы на какое-либо число ведет к увеличению ее детерминанта в такое же количество раз.

Использование вышеназванных свойств помогает с легкостью осуществлять нахождение определителя матрицы любого порядка. Например, используя для этого метод понижения порядка, при котором происходит разложение детерминанта по элементам строки (столбца), умноженным на алгебраическое дополнение.

Еще одним способом, который значительно упрощает нахождение определителя матрицы, является приведение ее к треугольному виду, когда все элементы, находящиеся под главной диагональю равны нулю. В данном случае детерминант матрицы рассчитывается как произведение чисел, расположенных на этой диагонали.

И напоследок хотелось бы отметить, что вычисление определителей, хотя и состоит из, казалось бы, несложных математических расчетов, однако требует значительной внимательности и усидчивости.