В чем заключается метод Симпсона и как реализовать его на языке Паскаль

Для вычисления значения интеграла, хотя и приближенного, существует прекрасный метод, названный в честь его создателя, – метод Симпсона. Он также называется способом парабол, потому как в нем используется построение параболы. Данная фигура строится максимально приближенно к функции. Собственно, так как построить параболу, у которой точки точно совпадают с точками функции, невозможно, интеграл и находится приближенно. Формула нахождения его с границами a и b выглядит вот так: 1/h*(y₀+4y₁+2y₂+4y₃+…+4y_n-1+y_n). Здесь нам нужно просто вычислять каждый y от 0 до n, где n мы определяем сами – чем больше, чем лучше, ведь чем больше будет y-ов, тем более приближенное к истинному у нас значение получится. Что касается h, то это шаг и рассчитывается по такой формуле: (b-a)/(n-1).

В теории все довольно просто, но нужно было бы реализовать все это на практике. Для многих программистов нет лучшего способа для решения такой задачи, как метод Симпсона – Паскаль или Делфи. В данной среде можно очень просто не только вычислить интеграл, а и построить к нему график функции и даже выстроенную к ней трапецию. Итак, разберемся, как можно быстро реализовать метод Симпсона и при желании даже самим объяснить, как здесь и что организовано, всем интересующимся.

Но перед этим вспомним, как выглядит интеграл. Это фигура, которая ограничена линиями, начинающимися на оси иксов, то есть а и b.

Итак, для начала в программе нужно создать функцию для интегрируемой функции (простите за тавтологию), в которой просто нужно написать f:= и то, для чего будем находить интеграл. Здесь крайне важно не ошибиться в вводе функции на языке Паскаль. Но это отдельная тема для разговора. Полученный код будет выглядеть примерно так:

function f(x:real):real-

И основной текст функции

begin

f:=25*ln(x)+sin(10)- {вот здесь и нужно написать содержимое своей функции}

end-

Дальше напишем функцию для реализации метода Симпсона. Начало будет примерно такое:

function simpsonmetod(a,b:real-n:integer):real-

Далее объявим переменные:

var

s:real- { Промежуточные суммы (дальше поймете) }

h:real- { Шаг }

my:integer- { Просто счетчик }

mno:integer- { Очередные множители }

А теперь, собственно, сама программа:

begin

h:=(b-a)/(n-1)- { Рассчитываем шаг по стандартной формуле. Иногда в задании пишется шаг, в таком случае эта формула не применяется }

s:= f(b)+ f(a)- { Задается начальное значение шага }

mno:=4- { Вспомните формулу - 1/h*(y₀+4y_1… вот эта 4 здесь и пишется, второй множитель будет 2, но об этом дальше }

Теперь та самая основная формула:

for my:=1 to n-2 do begin

s:=s+mno*f(a+h*му)- { К сумме добавляем очередной множитель, умноженный на 4*y_n или 2* y_n }

if (mno=4) then mno:=2 else mno:=4-{ Тут и меняется множитель - если сейчас равен 4, то меняется на 2 и наоборот}

end-

simpsonmetod:=s*h/3- { Далее полученную в результате цикла сумму множим на h/3 согласно формуле}

end.

Вот и все – делаем все действия согласно формуле. Если вы еще не поняли, как применить в основной программе метод Симпсона, пример вам в этом поможет.

Итак после написания всех функций пишем

Begin

n:=3- { Задаем n }

q:=simpsonmetod(a,b,n)- { Так как метод Симпсона заключается в том, чтобы вычислять интеграл от a до b, будет несколько шагов вычисления, поэтому организовываем цикл }

repeat

q2:=q- { Запоминается предыдущий шаг }

n:=n+2-

q:=simpsonmetod(a,b,n)- { И рассчитывается следующее значение }

until (abs(q-q2)<0.001)-{ В задании пишется точность, поэтому пока не достигнется необходимая точность, нужно повторять те же действия }

Вот такой он – метод Симпсона. На самом деле ничего сложного, пишется все очень быстро! А теперь открывайте свой Турбо Паскаль и начинайте писать программу.