Метод дихотомии

Видео: Метод дихотомии

Дихотомия в переводе с греческого языка значит "последовательное деление надвое" или "раздвоенность". Дихотомическое деление довольно успешно используется в математике и логике для классификации элементов, а в философии и лингвистике – для образования подразделов одного термина, взаимоисключающих друг друга.

Видео: Нахождение корней уравнения методом половинного деления

Метод дихотомии необходимо отличать от обычного деления. Например, слово "человек" может быть разделено на понятия "мужчины" и "женщины", а может делиться на "мужчины" и "не мужчины". Так вот, в первом случае два понятия не противоречат друг другу, поэтому здесь дихотомия отсутствует. Во втором случае "мужчина" и "не мужчина" - два определения, противоречащие друг другу и не пересекающиеся, а это и является определением дихотомии.

Метод дихотомии привлекателен свой простотой, так как здесь всегда присутствует только два класса, которые исчерпываются объемом делимого понятия. Иными словами, в дихотомическом делении всегда присутствует соразмерность. Следующим основным свойством является исключение друг друга членами деления в связи с тем, что каждое делимое множество может попасть только в один из классов "b" или "не b", а деление осуществляется только по одному основанию, связанному с наличием или отсутствием определенного признака.

Видео: Численные методы

При всех своих достоинствах метод дихотомии имеет и недостаток, заключающийся в неопределенности той его части, которая имеет частицу "не". Например, если всех ученых разделить на математиков и не математиков, то относительно второй группы присутствует определенная неясность. Кроме этого недостатка, существует еще один, заключающийся в затруднительном установлении понятия, противоречащего первому значению, по степени удаления от первой пары.

Как уже указывалось выше, дихотомия зачастую используется в качестве вспомогательного приема при классификации каких-либо понятий. Метод дихотомии активно используется при нахождении значений функций, определяемых по определенному критерию (например, сравнение на максимум или минимум).

Довольно часто используется неосознанно метод дихотомии, алгоритм которого может быть описан буквально пошагово. Например, в игре «Угадай число» один из игроков загадывает число в диапазоне от 1 до 100, а другой делает попытки его отгадать на основе подсказок "меньше" или "больше" первого. Если размышлять логически, в качестве первого числа всегда называется 50, а в случае загаданного меньшего – 25, большего – 75. Поэтому на каждом этапе неопределенность загаданного числа уменьшается вдвое, и даже невезучий человек отгадает это неизвестное приблизительно за 7 попыток.

При использовании метода дихотомии в решении различных уравнений нахождение правильного решения возможно лишь тогда, когда достоверно известно нахождение единственного корня на заданном интервале. Это совсем не означает, что применение данного метода возможно для нахождения корней только линейных уравнений. При решении уравнений более высокого порядка с использованием метода половинного деления нужно в первую очередь разделить корни по отрезкам. При этом процесс их отделения осуществляется с помощью нахождения первой и второй производных от функции и приравнивания полученных уравнений к нулю (f`(x)=0, f``(x)=0). Следующим этапом является определение значений f(x) в граничных и критических точках. Результатом всех проведенных расчетов является интервал |a,b|, на котором у значения функции меняется знак и где f(a)*f(b)< 0.

Видео: Урок 10. C++ Метод половинного деления

При рассмотрении графического метода решения уравнения с использованием дихотомии алгоритм решения довольно прост. Например, существует отрезок |a,b|, в пределах которого находится один корень х.

Первым этапом является вычисление среднего алгебраического x=(a+b)/2. далее рассчитывается значение функции в данной точке. Если f(x)< 0, то [a,x], в противном случае - [x,b]. Таким образом, осуществляется сужение интервала, в результате которого формируется определенная последовательность х. Расчет прекращается при достижении разности b-a меньшей погрешности.