Сумма кубов и их разность: формулы сокращенного умножения

Видео: Преобразование алгебраических выражений

Математика – одна из тех наук, без которых невозможно существование человечества. Практически каждое действие, каждый процесс сопряжены с использованием математики и ее элементарных действий. Многие великие ученые приложили огромные усилия к тому, чтобы сделать данную науку проще и понятнее. Различные теоремы, аксиомы и формулы позволяют ученикам быстрее воспринимать информацию и применять знания на практике. При этом большинство из них помнится на протяжении всей жизни.

Самыми удобными формулами, позволяющим студентам и школьникам справляться с гигантскими примерами, дробями, рациональными и иррациональными выражениями, являются формулы, в том числе и сокращенного умножения:

1. суммы и разности кубов:

s³ – t³ - разность-

k³ + l³ - сумма.

2. формула куба суммы, а также куба разности:

(f + g)³ и (h – d)^3-

3. разность квадратов:

z² – v²-

4. квадрат суммы:

(n + m)² и т. д.

Формула сумма кубов является практически самой сложной для запоминания и воспроизведения. Виной тому чередующиеся знаки в ее расшифровке. Их неправильно пишут, путая с другими формулами.

Сумма кубов раскрывается следующим образом:

k³ + l³ = (k + l)*(k² – k*l +l²).

Вторую часть уравнения иногда путают с квадратичным уравнением или раскрытым выражением квадрата суммы и добавляют во второе слагаемое, а именно к «k*l» число 2. Однако формула сумма кубов раскрывается только так. Давайте докажем равенство правой и левой части.

Пойдем от обратного, то есть, постараемся показать, что вторая половина (k + l)*(k² – k*l +l²) будет равняться выражению k³ + l³.

Раскроем скобки, перемножив слагаемые. Для этого сначала умножаем «k» на каждый член второго выражения:

k*(k² – k*l +k²) = k* l² – k*(k*l) + k*( l²)-

затем таким же образом производим действие с неизвестным «l»:

l*(k² – k*l +k²) = l* k² – l*(k*l) + l*( l²)-

упрощаем получившееся выражение формулы сумма кубов, раскрываем скобки,и при этом приводим подобные слагаемые:

(k³ – k²*l + k* l²) + (l* k² – l²*k + l³) = k³ – k²l + kl²+ lk² – lk² + l³ = k³ – k²l + k²l + kl²- kl² + l³ = k³ + l³.

Данное выражение равняется исходному варианту формулы сумма кубов, а это и требовалось показать.

Найдем доказательство для выражения s³ – t³. Данная математическая формула сокращенного умножения имеет название разность кубов. Раскрывается она следующим образом:

s³ – t³ = (s – t)*(s² + t*s + t²).

Аналогичным, как и в предыдущем примере образом докажем соответствие правой и левой частей. Для этого раскроем скобки, перемножив слагаемые:

для неизвестного «s»:

s *(s² + s*t + t²) = (s³ + s²t +st²)-

для неизвестного «t»:

t *(s² + s*t + t²)= (s²t + st² + t³) -

при преобразовании и раскрытии скобок данной разности получается:

s³ + s²t +st² – s²t – s²t – t³ = s³ + s²t– s²t – st²+st²– t³= s³ – t³ – что и требовалось доказать.

Для того чтобы запомнить, какие знаки ставятся при раскрывании подобного выражения, необходимо обратить внимание на знаки между слагаемыми. Так, если одно неизвестное отделено от другого математическим символом «-», то в первой скобке будет стоять минус, а второй – два плюса. Если между кубами расположен знак «+», то, соответственно, первый множитель будет содержать плюс, а второй минус, а затем плюс.

Это можно представить в виде небольшой схемы:

s³ – t³ («минус»)*(«плюс» «плюс»)-

k³ + l³ («плюс»)*(«минус» «плюс»).

Рассмотрим пример:

Дано выражение (w – 2)³ + 8. Необходимо раскрыть скобки.

Решение:

(w – 2)³ + 8 можно представить в виде (w – 2)³ + 2³

Соответственно, как сумму кубов это выражение можно разложить по формуле сокращенного умножения:

(w – 2 + 2)*((w – 2)² – 2*(w – 2) + 2²)-

Затем упрощаем выражение:

w*(w² – 4w + 4 – 2w + 4 + 4) = w * (w² – 6w + 12) = w³ – 6w² +12w.

При этом, первую часть (w – 2)³ можно рассматривать также как куб разности:

(h – d)³ = h³ – 3*h²*d + 3*h*d² – d³.

Видео: Сумма кубов двух чисел

Тогда, если раскрыть ее по данной формуле, получится:

(w – 2)³ = w³ – 3*w² *2 + 3*w * 2² – 2³ = w³ – 6*w² + 12w – 8.

Если прибавить к ней вторую часть первоначального примера, а именно «+8», то результат будет следующим:

(w – 2)³ + 8 = w³ – 3*w² *2 + 3*w * 2² – 2³ + 8 = w³ – 6*w² + 12w.

Таким образом, мы нашли решение данного примера двумя способами.

Необходимо помнить, что залогом успеха в любом деле, в том числе и в решении математических примеров, являются усидчивость и внимательность.